<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2013.
\end{bf}

Veiledning: 15.\ og 18.\ februar. Innleveringsfrist: Onsdag 20.\ februar kl 14.

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 5
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\vspace{1.0cm}
{\bf Maxwellfordelingen} \\

{\em Innledning} \\

I denne {\o}vingen skal vi studere bevegelsen til sirkul{\ae}re plastskiver p{\aa} 
et luftputebord. Luftputebordet har vibrerende vegger som i gjennomsnitt tilf{\o}rer
skivene litt energi i kollisjonene mellom vegg og skive. Dette kompenserer for
friksjon mellom skivene og underlaget, samt et visst energitap n{\aa}r skivene
kolliderer med hverandre. Etter en viss tid har vi {\em stasjon{\ae}re} forhold,
der tilf{\o}rt energi fra veggene og tapt energi pga friksjon er like store. 
Vi kan da forvente at skivenes hastighetsfordeling ogs{\aa} er stasjon{\ae}r,
og oppgaven g{\aa}r i korthet ut p{\aa} bestemme denne hastighetsfordelingen
og sammenligne med teoretisk forventet fordeling. \\

Filmen \href{http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4165_2013/matlab/video8.wmv}{video8.wmv} 
viser det studerte utsnittet av luftputebordet i ca 14 sekunder. 
I l{\o}pet av denne tiden har vi fulgt banen $(x(t),y(t))$ til 49 skiver. Eller mer
presist, 49 skivebaner, siden en gitt skive kan forsvinne ut av bildet og
komme inn i bildet igjen opp til flere ganger i l{\o}pet av de 14 sekundene.
Med programmet \href{http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker}{tracker} er de 49 banene
kartlagt og lagret i hver sin fil, \verb|mass8_1.txt, mass8_2.txt, ..., mass8_49.txt|.
Disse 49 tekstfilene ligger samlet i fila
\href{http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4165_2013/matlab/maxwell.zip}{maxwell.zip}.
Eksempelvis er innholdet i fila \verb|mass8_24.txt| som f{\o}lger:
\begin{verbatim}
mass8_24
t	x	y
6.352	-109.08	-109.808
6.431	-122.184	-88.696
6.495	-134.317	-67.826
6.56	-148.15	-47.685
\end{verbatim}
F{\o}rste linje er f{\o}rste del av filnavnet, andre linje angir hvilke
st{\o}rrelser som p{\aa}f{\o}lgende data tallfester, og fra og med tredje
linje kommer sammenh{\o}rende verdier av tid $t$ (m{\aa}lt i sekunder),
horisontal posisjon $x$ og vertikal posisjon $y$. Tallverdiene for $x$ og $y$
m{\aa} multipliseres med faktoren 0.22 for {\aa} angi centimeter. Bane nr 24
tilh{\o}rer en skive som var inne i synsfeltet kun et par tiendedels sekunder
f{\o}r den forsvant ut av bildet igjen. Filmen er tatt opp med et webkamera
som tar 15 bilder pr sekund. \\

To p{\aa}f{\o}lgende bilder gir grunnlag for numerisk beregning av $v_x$,
$v_y$ og $v = \sqrt{v_x^2+v_y^2}$ for en gitt skive som er inne i synsfeltet.
(For bane nr 24, med bare 4 bilder, kan vi beregne 3 verdier av $v_x$, $v_y$ og $v$.)
Alt i alt gir de 49 banene p{\aa} denne m{\aa}ten grunnlag for 920 
individuelle fartsm{\aa}linger. Hvis vi s{\aa} deler inn $v$-aksen (evt
$v_x$-aksen og $v_y$-aksen) i passende store intervaller, kan vi telle opp hvor
mange m{\aa}linger som havner i hvert intervall, og til slutt tegne opp 
fordelingen i et s{\aa}kalt histogram. \\

%\vspace{0.5cm}
\newpage
{\em Oppgaver} \\

Antagelsene som f{\o}rte fram til Maxwellfordelingen for molekylenes hastigheter
i en fortynnet gass var ikke annet enn 1.\ at ingen retninger er spesielt
foretrukne (isotrop fordeling) og 2.\ at de ulike komponentene av hastigheten
(her: $v_x$ og $v_y$) er statistisk uavhengige. Er det noen grunn til {\aa} tro
at disse antagelsene ikke skulle gjelde for skivene p{\aa} luftputebordet?
Nei, ikke s{\aa} langt jeg kan se! Med andre ord, sannsynligheten for at en gitt
skive har hastighetskomponenter p{\aa} intervallene $(v_x,v_x+dv_x)$ og
$(v_y,v_y+dv_y)$ er henholdsvis
$$g(v_x)\,dv_x = \sqrt{\frac{B}{\pi}}\, e^{-B v_x^2}\,dv_x$$
og
$$g(v_y)\,dv_y = \sqrt{\frac{B}{\pi}}\, e^{-B v_y^2}\,dv_y.$$

\vspace{0.3cm}
$a)$ Bruk dette til {\aa} vise at skivenes hastighetsfordeling blir
$$F(v) = \frac{B}{\pi}\,e^{-B v^2},$$
mens fartsfordelingen blir
$$f(v) = 2B v e^{-B v^2}.$$
Her har vi brukt samme notasjon som i forelesningene, slik at
$F(v) d^2 v$ angir sannsynligheten for at en skive har hastighet mellom
$\bold{v}$ og $\bold{v} + d\bold{v}$, mens $f(v) dv$ er sannsynligheten
for at en skive har fart ($v = |\bold{v}|$) mellom $v$ og $v+dv$. \\

$b)$ Last ned fila \verb|maxwell.zip| og ''pakk ut'' de 49 txt-filene.
Skriv ferdig MATLAB-programmet \verb|maxwell.m| slik at du f{\aa}r plottet
et histogram for skivenes fartsfordeling. (Linjer med .......... m{\aa} kompletteres.)
I samme figur skal det ogs{\aa}
tegnes opp en teoretisk fordelingsfunksjon p{\aa} formen $A v \exp(-B v^2)$.
Velg koeffisienter $A$ og $B$ slik at du f{\aa}r best mulig samsvar 
mellom teori og eksperiment. \\

$c)$ Skivene har masse 32 g. Er det meningsfylt {\aa} tilordne dette systemet
en temperatur slik vi gjorde for molekyler i en fortynnet gass? \\

$d)$ Her er noen forslag til andre ting du kan gj{\o}re:
\begin{itemize}
\item
Lag histogram for $v_x$ og $v_y$ og sammenlign med tilpassede teoretiske kurver.
\item
Lag ''scatter plot'' (hva heter det p{\aa} norsk?) av henholdsvis
$v_x$ mot $v_y$ og $x$ mot $y$ for samtlige m{\aa}lte verdier. Gir
figurene visuelle inntrykk omtrent som forventet?
\item
Andre gode ideer?
\end{itemize}

\end{document}
</pre></body></html>