<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2013.
\end{bf}

Veiledning: 15.\ og 18.\ mars. Innleveringsfrist: Onsdag 20.\ mars kl 14.

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 9
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 1} \\

%%FIGURE
%%\vspace{0.3cm}
%%\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{reodor.eps}}
%%\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

$a)$ Vis relasjonen (Maxwell-relasjon)
$$\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.$$

\vspace{0.6cm}
$b)$ En kobberblokk har volumet $V=1$ cm$^3$ ved temperaturen $T=100$ K og trykket 
$p_1=1.1\cdot 10^5$ Pa. Blokken blir s{\aa} komprimert reversibelt og isotermt til 
trykket $p_2=1.3\cdot10^8$ Pa. For Cu er isoterm kompressibilitet og kubisk utvidelseskoeffisient 
henholdsvis
$$\kappa_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T= 0.721\cdot10^{-11}\,{\rm Pa}^{-1} 
\quad{\rm og} \quad
\alpha_V=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=50.4\cdot10^{-6}\,{\rm K}^{-1}.$$
Beregn arbeidet $W$ som utf{\o}res p{\aa} Cu-blokken ved denne kompresjonen. (Anta at $\kappa_T$ og 
$\alpha_V$ er konstante og at endringen i $V$ er liten ved denne kompresjonen.) \\

$c)$ Hva blir endringen i entropi $\Delta S$ for Cu-blokken ved denne isoterme kompresjonen, og hvor stor 
blir endringen i indre energi $\Delta U$? [Hint: Benytt resultatet fra punkt a) til {\aa} bestemme 
$\Delta S$.] {\small (Svar: $\Delta S=-6.55\cdot10^{-3}$ J/K.)} \\

\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 2} \\

$a)$ En ideell gass kj{\o}les fra temperaturen $T$ til $T_0$. Omgivelsenes temperatur er hele tiden $T_0$. 
Start- og sluttilstanden har samme volum ($\Delta V=0$). Vis at det maksimale arbeid som er mulig {\aa} 
f{\aa} ut av gassen er
$$W_{\rm max} = C_V (T-T_0) - C_V T_0 \ln\frac{T}{T_0}.$$

\vspace{0.6cm}
$b)$ Hvor mye varme avgis, og hva er det maksimale arbeidet n{\aa}r gassen er ett mol toatomig gass, 
og avkj{\o}lingen er fra 100$^\circ$C til 20$^\circ$C? {\small (Svar: $W_{\rm max}=193$ J.)} \\

$c)$ En m{\aa}te {\aa} ta ut det maksimale arbeidet p{\aa} er {\aa} la en Carnot-maskin virke mellom 
den {\o}vre avtagende temperaturen og den faste $T_0$. Vis at dette gir det samme arbeidet $W_{\rm max}$. \\

$d)$ En annen m{\aa}te {\aa} ta ut det maksimale arbeidet p{\aa} er f{\o}rst {\aa} ekspandere gassen 
adiabatisk slik at temperaturen synker til $T_0$. Deretter komprimeres den isotermt tilbake til 
opprinnelig volum. Vis at dette ogs{\aa} gir samme arbeid $W_{\rm max}$. \\


\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 3} \\

$b)$ Med kjent partisjonsfunksjon $Z$ kan entropien $S$ bestemmes. For $N$ uavhengige (ikke-vekselvirkende) 
spinn er Gibbs fri energi $G$ gitt ved $-\beta G=N\ln Z$ og entalpien $H=U-N\langle s\rangle h=-Nmh$. 
(For fri ikke-vekselvirkende spinn er indre energi $U=0$ og $Nmh$ tilsvarer $\mu_0{\cal MH}$, 
dvs $Nm=A^{-1}\mu_0{\cal M}$ og $h=A{\cal H}$ der ${\cal M}$ er det magnetiske moment og $A$ er en konstant.) 

Entropien f{\o}lger da av den termodynamiske relasjonen $G=H-TS$, dvs 
$S=(H-G)/T=k\beta(H-G)=Nk(\beta mh-\ln Z)$ (eller fra $dG=-S\,dT-m\,dh$ som $S=-(\partial G/\partial T)_h$).
En kan s{\aa} eliminere $\beta h$ ved {\aa} invertere $m=\tanh(\beta h)$. Dette gir 
$\beta h=\frac{1}{2}\ln\left[(1+m)/(1-m)\right]$ slik at entropien blir

$$S=Nk\left[\ln 2-\frac{1}{2}(1+m)\ln(1+m)-\frac{1}{2}(1-m)\ln(1-m)\right].$$
Som et alternativ til en slik beregning kan entropien bestemmes direkte fra Boltzmanns resultat 
$S=k\ln W$. Anta at et antall $N_+$ og $N_-$ spinn peker henholdsvis med og mot magnetfeltet. 
Med $s=\pm 1$ er da magnetiseringen s{\aa}vel som energien (entalpien) $H=-Nmh$
proporsjonal med $Nm=N_+ - N_-$ (der $N=N_+ + N_-$).
Beregn antall mikrotilstander $W$ forenlig b{\aa}de med den gitte magnetiseringen og energien  
(dvs med $Nm=N_+ - N_-$ fast) og vis med det at entropien blir som angitt ovenfor. \\

Oppgitt: $\ln N!=N\ln N-N$,\,\, $N\rightarrow\infty$. \\

$c)$ Et slikt spinnsystem kan benyttes til {\aa} oppn{\aa} sv{\ae}rt lave temperaturer ved {\aa} bruke 
adiabatisk demagnetisering. Et kraftig magnetfelt $h_1$ settes p{\aa} isotermt ved lav temperatur $T_1$. 
Deretter fjernes termisk kobling, og magnetfeltet sl{\aa}s av adiabatisk. P{\aa} grunn av litt kobling 
mellom spinnene, ender en opp med et effektivt magnetfelt $h_2&gt;0$. Hva blir resulterende temperatur $T_2$ 
n{\aa}r andre bidrag til entropien negliseres? [For lave $T$ er spesifikk varme fra kvantiserte 
gittervibrasjoner $C \propto T^3$ slik at bidraget til entropien herfra, $S=\int (C/T)\,dT$ kan  
neglisjeres for tilstrekkelig lave $T$.] \\

{\bf Oppgave 4} \\

For en ideell enatomig gass gjelder
$$\frac{pV}{T}=x\,C_V$$
der $x=2/3$ da $C_V=\frac{3}{2}nR$. For en fotongass (i et str{\aa}lingshulrom) gjelder samme relasjon 
med en annen numerisk konstant enn 2/3. Hva er $x$ for en fotongass? \\

{\bf Oppgave 5} \\

Kobber har varmekapasitet $C_{\rm Cu}=0.387$ kJ/kg (ved konstant trykk) mens den for vann er 
$C_{\rm vann}=1$ cal/g $=4.184$ J/g. 4.0 kg Cu med temperatur 50$^\circ$C slippes opp i 1.5 kg vann 
som har temperaturen 5$^\circ$C. Systemet kommer i likevekt ved at temperaturen jevner seg ut. 
Hva blir likevektstemperaturen $T$ n{\aa}r systemet er varmeisolert fra omgivelsene?

\end{document}
</pre></body></html>