<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2013.
\end{bf}

Veiledning: 18.\ og 21.\ januar. Innleveringsfrist: Onsdag 23.\ januar kl 14.

\vspace{1.0cm}

\begin{large}
{\O}ving 1
\end{large}

\end{center}

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 1} \\

$a)$ Volumutvidelseskoeffisienten $\alpha$ og den isoterme kompressibiliteten $\kappa_T$ er ikke konstanter, men 
varierer med tilstanden (trykk, temperatur, volum). Vis at f{\o}lgende sammenheng gjelder for {\em variasjonene} med tilstanden:
$$\left(\frac{\partial \alpha}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial\kappa_T}{\partial T}\right)_p.$$

\vspace{0.3cm}
$b)$ Hvis du lager et sirkul{\ae}rt hull med diameter 10 cm i en st{\aa}lplate utend{\o}rs i ti kuldegrader,
hva er hullets diameter n{\aa}r platen har akklimatisert seg inne i stua? St{\aa}l har line{\ae}r
utvidelseskoeffisient $13 \cdot 10^{-6}$ K$^{-1}$.

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 2} \\

$a)$ Beregn trykket $p$ i ett mol luft ved $20^\circ$C og volum 24.0 L n{\aa}r du antar at luft er en ideell gass. 
Finn $p$ n{\aa}r gassen er komprimert til 0.24 L.\\

$b)$ N{\aa}r tettheten {\o}ker, vil luft avvike fra ideell gass. Da kan van der Waals' tilstandsligning benyttes 
som en tiln{\ae}rmelse. For ett mol gass er denne ligningen gitt ved
$$p=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$$
der $a$ og $b$ er konstanter. For luft er $a=1.368$\,bar$({\rm m}^3/{\rm kmol})^2$ \,og $b=0.0367\,({\rm m}^3/{\rm kmol})$ 
(1 bar = $10^5$ Pa og 1 kmol=1000 mol). Hva blir trykket $p$ for 1 mol luft ved de samme volum 24.0 L og 0.24 L 
n{\aa}r van der Waals' tilstandsligning brukes med de gitte verdiene p{\aa} $a$ og $b$? (Svar: 1 atm og 96 atm.) \\


\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 3} \\

Vis at van der Waals' tilstandsligning kan skrives som en tredjegradsligning i volumet $V$. \\


\newpage
\vspace{0.5cm}
{\bf Oppgave 4} \\

\noindent
For {\aa} f{\aa} litt bedre ``f{\o}ling'' med van der Waals' tilstandsligning kan vi
plotte isotermer for forskjellige temperaturer i et $(p,V)$-diagram. Dette gj{\o}res enkelt i Matlab (eventuelt Octave).
Bruk verdiene for $a$ og $b$ for luft fra oppgave 2b. Gasskonstanten er $R = 8.314$ J/mol\,K. \\

\noindent
Lag f{\o}rst en figur der van der Waals isotermer tegnes opp for temperaturer mellom 113 og 293 K, med intervall 20 K
mellom p{\aa}f{\o}lgende kurver. Beregn $p(V)$ for $V$ mellom 0.05 og 1.0 L/mol, mens kurvene plottes
i et diagram der $V$-aksen g{\aa}r fra 0 til 1.0 L/mol og $p$-aksen fra 0 til 140 bar. Tegn ogs{\aa}, i samme figur, 
isotermer basert p{\aa} ideell gass tilstandsligning for laveste og h{\o}yeste temperatur, dvs 113 og 293 K. 
Sjekk at de to kurvene ved $T=293$ K er konsistente med det du fant i oppgave 2. \\

\noindent
Lag deretter en tilsvarende figur for temperaturer mellom 113 og 158 K, med intervall 5 K mellom kurvene. Her kan
du beregne $p(V)$ for molare volum mellom 0.05 og 0.5 L/mol, mens $V$- og $p$-aksene g{\aa}r hhv fra 0 til 0.5 L/mol
og fra 0 til 70 bar. Legg merke til overgangen fra monotont avtagende kurver til ikke-monotone $p(V)$ ved $T \simeq 133$ K.
Vi skal diskutere dette n{\ae}rmere senere i kurset. \\

Noen tips for programmering i Matlab eller Octave:
\begin{itemize}
\item To vanlige m{\aa}ter {\aa} lage en vektor som inneholder tall fra $x$ til
  $y$: \verb!a = 0:0.01:1! og \verb!b = linspace(1,2,100)! Her er \verb!a! en vektor
  med tall fra 0 til 1, med steglengde 0.01. \verb!b! er en vektor med 100 tall
  fra 1 til 2.
\item Funksjonen \verb!length(a)! returnerer antall elementer i vektoren $a$.
\item En \verb!for!-l{\o}kke er praktisk for {\aa} plotte flere grafer i en og samme figur.
\item N{\aa}r du skal lage en ny vektor med tall basert p{\aa} en funksjon av en gammel
  vektor, kan det v{\ae}re fristende {\aa} bruke en ny \verb!for!-l{\o}kke. Men det er mye
  raskere {\aa} bruke Matlab/Octave sine innebygde elementvise operasjoner! Da kan vi lage
  en ny vektor \verb!c! basert p{\aa} \verb!b! fra i sted slik:
  \\
  \verb!c = b.*b! - her blir verdi nr.\ $n$ i \verb!c! lik kvadratet av verdi nr.\ $n$ i \verb!b!, slik at
  kommandoen \verb!plot(b,c)! vil gi en parabel. Du kan bruke et punktum foran alle vanlige operasjoner.
\item Etter det f{\o}rste plottet m{\aa} du skrive \verb!hold on! for at de neste
  kurvene skal komme i samme figur. (Du m{\aa} skrive \verb!hold off;! etter den siste
  kurven og deretter \verb!figure;! dersom nye figurer skal lages senere i det nye programmet.) 
  Det er ogs{\aa} lurt {\aa} skalere aksene etter det f{\o}rste plottet, med
  kommandoen \verb!axis([xmin xmax ymin ymax])!.
\end{itemize} 

\noindent
Et konkret eksempel er tatt med p{\aa} neste side. Du kan bruke dette eksemplet som utgangspunkt
for {\aa} lage de to figurene med isotermer.

\newpage
\begin{verbatim}
%%FY1005/TFY4165, Oving 1, Oppgave 4, eksempel.
%%Filnavn: ov1eksempel.m
zmin=1;
zmax=5;
Deltaz=1;
%%z = vektor med verdier mellom zmin og zmax, intervall Deltaz
z=zmin:Deltaz:zmax;
xmin=0.1;
xmax=pi;
Nx=500;
%%x = vektor med verdier mellom xmin og xmax, i alt Nx verdier
x=linspace(xmin,xmax,Nx);
%%length(z) = antall elementer i vektoren z
%%Bruker for-loekke fra i=1 til i=length(z) til aa regne ut en 
%%funksjon y(x) for z-verdier z(1), z(2), ... , z(length(z))
for i = 1:length(z);
    y = sin(z(i).*x);
    fig = plot(x,y);
    %%y(x) for laveste z-verdi z(1): blaa kurve
    %%y(x) for hoeyeste z-verdi z(length(z)): roed kurve
    %%Mellomliggende kurver: gradvis mellom blaa og roed
    %%Tynne kurver, LineWidth = 1.0
    red=(i-1)/(length(z)-1);
    green = 0.0;
    blue=1-red;
    set(fig,'Color',[red green blue],'LineWidth',1.0);
    if i == 1;
        title('Noen harmoniske funksjoner','fontsize',18);
        xlabel('x','fontsize',18);
        ylabel('sin(zx)','fontsize',18);
        axis([0 xmax -1 1]);
        %%Kommandoen hold on; soerger for at paafoelgende 
        %%kurver tegnes i samme figur
        hold on;
        %%Vi plotter ogsaa funksjonen sin(0.9zx) for laveste
        %%z-verdi, dvs for z(1)
        y2 = sin(0.9*z(i).*x);
        fig = plot(x,y2);
        %%Tykk blaa kurve for y2(x) ved z(1)
        set(fig,'LineWidth',1.5,'Color',[0 0 1]);
    end;
end;
hold off;
\end{verbatim}

\end{document}
</pre></body></html>