<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{hyperref}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 4
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

For enatomig gass har vi $c_{pm}=5R/2$ og $c_{Vm}=3R/2$, slik at $\gamma = C_p/C_V = 5/3$.
Langs adiabaten er det (pr definisjon) ingen varmeutveksling med omgivelsene, $Q_{ab}=0$.
Fra c til a er volumet konstant slik at det ikke utf{\o}res noe arbeid, $W_{ca}=0$. Trykket
{\o}kes, som betyr at temperaturen ogs{\aa} {\o}ker. Alts{\aa} {\o}ker gassens indre energi
fra c til a, og denne energien m{\aa} da komme fra tilf{\o}rt varme, dvs $Q_{ca}&gt;0$.
Fra b til c komprimeres gassen (til halvt volum) ved konstant trykk ($p_c = p_b$). Det betyr
at gassen har utf{\o}rt et negativt arbeid p{\aa} omgivelsene, $W_{bc}&lt;0$. Det er videre klart
at temperaturen i c er lavere enn i b, siden produktet $pV$ er mindre i c enn i b (halvparten
s{\aa} stort). F{\o}lgelig er indre energi redusert fra b til c, og det er klart at
$Q_{bc} = \Delta U_{bc} + W_{bc} &lt; 0$, dvs varme avgitt til omgivelsene. \\

Virkningsgraden er pr definisjon lik forholdet mellom netto utf{\o}rt arbeid $W$ og
tilf{\o}rt varme $Q_{ca}$,
$$\eta = \frac{W}{Q_{ca}} = \frac{Q_{ca} + Q_{bc}}{Q_{ca}},$$
der vi i siste overgang benyttet oss av at indre energi er en tilstandsfunksjon, slik at
netto utf{\o}rt arbeid tilsvarer netto tilf{\o}rt varme. Her tilf{\o}res og avgis varme ved
hhv konstant volum og konstant trykk, s{\aa} vi har direkte
\begin{eqnarray*}
Q_{ca} &amp;=&amp; C_V (T_a - T_c) = \frac{3}{2}nR (T_a - T_c), \\
Q_{bc} &amp;=&amp; C_p (T_c - T_b) = -\frac{5}{2}nR (T_b - T_c). 
\end{eqnarray*}
Vi har allerede sl{\aa}tt fast at $p_b V_b = 2 p_c V_c$ slik at $T_b = 2 T_c$.
Langs adiabaten har vi
$$T_a V_a^{\gamma-1} = T_b V_b^{\gamma-1} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
T_a = T_b \left( \frac{V_b}{V_a}\right)^{\gamma-1} = 2^{\gamma-1} \, T_b,$$
dvs $T_a = 2^\gamma T_c$. Virkningsgraden blir f{\o}lgelig
$$\eta = 1 + \frac{Q_{bc}}{Q_{ca}} = 1 - \frac{5}{3} \frac{T_b-T_c}{T_a-T_c} =
1 - \frac{5}{3} \frac{T_b/T_c-1}{T_a/T_c-1} = 1 - \frac{5}{3} \frac{2-1}{2^{5/3}-1}
\simeq 0.23.$$
En Carnot-maskin som opererer mellom et varmt reservoar med temperatur $T_a$ og et kaldt
reservoar med temperatur $T_c$ ville ha virkningsgraden
$$\eta_C = 1 - T_c/T_a = 1 - 2^{-5/3} \simeq 0.69,$$
som alts{\aa} er maksimal teoretisk virkningsgrad. \\

Som nevnt i oppgaveteksten kan arbeidet bestemmes ved {\aa} integrere $p(V) dV$. Langs
adiabaten m{\aa} en da benytte seg av at $p V^\gamma$ er konstant. Fra b til c blir
arbeidet ganske enkelt $p_b (V_a - V_b)$. Dette gir totalt arbeid uttrykt ved $p_b V_b$,
som med ideell gass tilstandsligning kan erstattes med $nR T_b$, og her kan $nR$ uttrykkes
ved $\gamma$ og $C_V$. Men tilf{\o}rt varme vil, som ovenfor, i utgangspunktet v{\ae}re
uttrykt ved $T_a$ og $T_c$, s{\aa} en kommer ikke utenom {\aa} uttrykke disse ved $T_b$,
slik vi gjorde ovenfor. \\

\newpage
\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Kraftverkets virkningsgrad er
$$\eta = \frac{W}{Q_2} = \frac{W}{|Q_1|+W},$$
der $Q_1$ er avgitt varme som dumpes i elva. Oppgaven ettersp{\o}r {\em effekter}, dvs
energier pr tidsenhet, s{\aa} la oss si at $Q$ og $W$ angir hhv varme og elektrisk
energi (arbeid) pr tidsenhet, dvs varmeeffekt og elektrisk effekt. Vi l{\o}ser ligningen ovenfor
med hensyn p{\aa} $W$ og finner at kraftverket maksimalt kan levere en elektrisk effekt
$$W = \frac{\eta}{1-\eta} \, |Q_1| = \frac{0.4}{0.6} \cdot 1500 \, {\rm MW} = 1000\,{\rm MW}.$$
Dette krever tilf{\o}rsel av en varmeeffekt
$$Q_2 = W + |Q_1| = 2500\,{\rm MW}.$$
Vannets spesifikke varmekapasitet kan skrives som
$$c = \frac{|Q_1|}{\Delta T \cdot M},$$
og hvis $|Q_1|$ her representerer varme pr tidsenhet, med enheten J/s, m{\aa}
$M$ tilsvare forbipassert masse vann pr tidsenhet, med enheten kg/s. N{\o}dvendig
vannf{\o}ring for {\aa} begrense $\Delta T$ til 5 K blir derfor
$$M = \frac{|Q_1|}{c \cdot \Delta T} = \frac{1500\cdot10^6\,{\rm J/s}}
{4184\,{\rm J/kg K} \cdot 5\,{\rm K}} \simeq 71.7\cdot10^3\,{\rm kg/s}
\simeq 72\,{\rm tonn/s}.$$

\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 3} \\

$a)$ La oss ta det enkleste f{\o}rst: Siden $v_x^3$ er en antisymmetrisk (odde) funksjon
av $v_x$ og $g(v_x)$ er en symmetrisk (like) funksjon av $v_x$, m{\aa} integralet av
produktet av disse to fra $-\infty$ til $\infty$ bli lik null. Videre er
(med $b = m/2kT$ som i forelesningene):
\begin{eqnarray*}
\langle |v_x| \rangle &amp;=&amp; \int_{-\infty}^{\infty} |v_x| g(v_x) dv_x =
2 \int_{0}^{\infty} v_x g(v_x) dv_x \\
&amp;=&amp; 2 \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} \int_0^\infty v_x e^{-m v_x^2/2kT} dv_x \\
&amp;=&amp; \sqrt{\frac{2m}{\pi kT}} \cdot \frac{kT}{m} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sqrt{\frac{kT}{m}}
\simeq 0.80 \sqrt{\frac{kT}{m}}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\langle v_x^4 \rangle &amp;=&amp; \sqrt{\frac{b}{\pi}} \left(-\frac{d}{db}\right)^2 \sqrt{\frac{\pi}{b}} \\
&amp;=&amp; \sqrt{b} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot b^{-5/2} = 
\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{m}{2kT}\right)^{-2}
= 3 \left(\frac{kT}{m}\right)^2
\end{eqnarray*}
Med andre ord, $\langle v_x^4 \rangle ^{1/4} \simeq 1.32 \sqrt{kT/m}$. \\

$b)$ Vi har fartsfordelingen $f(v)$ fra forelesningene, slik at
\begin{eqnarray*}
\left\langle \frac{1}{v} \right\rangle &amp;=&amp; \int_0^{\infty} \frac{1}{v} f(v) dv \\
&amp;=&amp; 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \int_{0}^{\infty} v e^{-m v^2/2kT} dv \\
&amp;=&amp; 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \cdot \frac{kT}{m} \\
&amp;=&amp; \frac{\sqrt{2/\pi}}{\sqrt{kT/m}} \\
&amp;\simeq&amp; \frac{0.80}{\sqrt{kT/m}} \\
\end{eqnarray*}
Til sammenligning er
$$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \sqrt{\frac{kT}{m}}$$
(fra forelesningene), slik at
$$\frac{1}{\langle v \rangle} \simeq \frac{0.63}{\sqrt{kT/m}}.$$

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 4} \\

$a)$ Fra forelesningene har vi $\langle v^2 \rangle = 3kT/m_{\rm molekyl} = 3RT/M$,
der $R$ er gasskonstanten og $M$ er molekylenes molare masse. Denne b{\o}r i f{\o}lge
oppgaven v{\ae}re mindre enn $V^2/36 = Gm/18r$, dvs
$$\frac{3RT}{M} &lt; \frac{Gm}{18r} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
T &lt; \frac{GMm}{54Rr},$$
hvis vi p{\aa} lang sikt skal unng{\aa} at molekylene forsvinner helt fra atmosf{\ae}ren. \\

$b)$ Jordas masse er $6.0\cdot10^{24}$ kg og dens radius er $6.4\cdot10^6$ m. Hydrogen,
med molar masse 2 g, kunne
derfor tenkes {\aa} finnes i jordas atmosf{\ae}re dersom jordas overflatetemperatur var
mindre enn ca 280 K. I gjennomsnitt er den litt h{\o}yere enn dette, ca 290 K, s{\aa} vi kan
ikke forvente {\aa} finne s{\ae}rlig mye hydrogen i v{\aa}r atmosf{\ae}re, konsistent med
de faktiske forhold. Nitrogen og oksygen, derimot, har hhv 14 og 16 ganger st{\o}rre molar
masse enn hydrogen, noe som gir en tilsvarende h{\o}yere toleranse for overflatetemperaturen,
hhv 3900 K og 4460 K. Med andre ord, ingen overraskelse at b{\aa}de N$_2$ og O$_2$ har holdt seg
p{\aa} plass her nede. \\

For Jupiter er masse og radius hhv $1.9\cdot10^{27}$ kg og $7.2\cdot10^7$ m. Dette gir mulighet
for hydrogen i atmosf{\ae}ren med overflatetemperatur opp mot 8000 K. I virkeligheten er den
ikke mer enn i overkant av 120 K, s{\aa} det er fullt mulig med hydrogen p{\aa} Jupiter.
Jupiters atmosf{\ae}re inneholder da ogs{\aa} omlag 90\% hydrogen. \\

V{\aa}r m{\aa}ne har masse og radius hhv $7.4\cdot10^{22}$ kg og $1.7\cdot10^6$ m.
En atmosf{\ae}re med nitrogen ville dermed fordre en overflatetemperatur mindre enn 177 K.
I realiteten kommer temperaturen ved m{\aa}nens ekvator opp mot 400 K (p{\aa} solsiden,
selvsagt), konsistent med at m{\aa}nen praktisk talt ikke har noen atmosf{\ae}re. \\

\newpage
\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 5} \\

$a)$ Sannsynlighetsfordelingen $p(s)$ m{\aa} v{\ae}re normert, slik at
$$1 = p(1) + p(-1) = C \left(e^{-x} + e^x \right) = 2 C \cosh x.$$
Dette fastlegger konstanten $C$ og dermed partisjonsfunksjonen $Z$:
$$Z = 1/C = 2 \cosh x = 2 \cosh \frac{\mu_B B}{kT}.$$

\vspace{0.3cm}
$b)$ Magnetiseringen blir $M = N m/V$, dvs
$$M = \frac{N\mu_B}{V} \left(-p(1) + p(-1) \right) =
\frac{N\mu_B}{V} C \left(-e^{-x} + e^{x} \right) = 
\frac{N\mu_B}{V} \frac{2\sinh x}{2\cosh x} =
\frac{N\mu_B}{V} \tanh x,$$
med $x = \mu_B B/kT$. Vi bruker oppgitte grenseverdier for hyperbolsk tangens og f{\aa}r
for h{\o}ye temperaturer, dvs $x \ll 1$:
$$M = \frac{N\mu_B}{V} \cdot \frac{\mu_B B}{kT} =
\frac{N\mu_B^2}{kV} \cdot \frac{B}{T},$$
i tr{\aa}d med Curies lov, som nettopp sier at magnetiseringen er omvendt proporsjonal
med temperaturen, for ikke for lave temperaturer. \\

I den motsatte grensen, dvs $x \gg 1$, er $\tanh x = 1$, og magnetiseringen blir
$$M = \frac{N\mu_B}{V}.$$
Som ventet: Det ytre magnetfeltet er s{\aa} sterkt at alle elektronspinnene peker i samme
retning som magnetfeltet (her: i positiv $z$-retning). \\

Hvis $T=0$, er $x=\infty$ uansett styrken p{\aa} magnetfeltet. Igjen er alle elektronspinn 
i laveste energitilstand (grunntilstanden), med samme retning som $\bold{B}$.

\vspace{1.5cm}
{\bf Magnetisme ved Institutt for fysikk} \\

Det foreg{\aa}r mye spennende forskning med tilknytning til spinn og magnetisme ved Institutt for
fysikk. \href{http://www.ntnu.edu/physics/theoretical/research}{KLIKK HER} hvis du vil lese
mer om instituttets forskning p{\aa} spinntransport, magnetiseringsdynamikk og frustrerte
kvantemekaniske magneter.

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.0in \epsfbox{brataas.eps}
\hspace{1cm}
\epsfxsize=1.0in \epsfbox{fjarestad.eps}
\hspace{1cm}
\epsfxsize=1.0in \epsfbox{linder.eps}
\hspace{1cm}
\epsfxsize=1.0in \epsfbox{sudbo.eps}
\hspace{1cm}
\epsfxsize=0.8in \epsfbox{stovneng.eps}}
%%END FIGURE
\caption{Arne Brataas, John Ove Fj{\ae}restad, Jacob Linder, Asle Sudb{\o}
og Jon Andreas St{\o}vneng jobber alle med kondenserte mediers teori ved Institutt for fysikk.}
\end{figure}


\end{document}
</pre></body></html>