<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{hyperref}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24.5cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 1
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Atmosf{\ae}ren p{\aa} Mars} \\

$a)$ Vi ser p{\aa} en lufts{\o}yle med tverrsnitt $A$ og h{\o}yde $dz$, og
dermed masse $dM = \mu A dz$ n{\aa}r massen pr volumenhet er $\mu$. Vekten av
denne lufts{\o}ylen er $dM\,g = \mu A dz \, g$, som m{\aa} tilsvare forskjellen $dF$
i kraften (nedover) p{\aa} lufts{\o}ylens nedre og {\o}vre flate. Siden trykket
pr definisjon er kraft pr flateenhet, m{\aa} $dp = -dF/A = -\mu dz \, g$ bli
endringen i trykket hvis vi forflytter oss fra h{\o}yde $z$ til h{\o}yde $z+dz$.
Av dette f{\o}lger det oppgitte uttrykket $dp/dz = -\mu g$. \\

$b)$ Hvis $m$ er gassens masse pr mol, er $nm$ massen til $n$ mol gass. Og hvis
$n$ mol gass okkuperer volumet $V$, blir da masse pr volumenhet $\mu = nm/V$.
Dermed: $pV = nRT \;\; \Rightarrow \;\; p/RT = n/V = \mu/m$, i samsvar med oppgitt
uttrykk for $\mu$. \\

$c)$ Fra $a)$ har vi $dp/dz=-\mu g$, og med resultatet i $b)$ betyr det at
$dp/p = -mgdz/RT$. Integrasjon p{\aa} begge sider, p{\aa} venstre side fra $p(0)=p_0$
til $p(z)$ og p{\aa} h{\o}yre side fra $z=0$ til $z$, gir 
$\ln[p(z)/p_0]=-\int_0^{z'}mg(z')dz'/RT(z')$,
som etter eksponentiering p{\aa} begge sider gir det oppgitte uttrykket for $p(z)$ med
oppgitt skalah{\o}yde $H(z)$. \\


$d)$ Innsetting av oppgitte tallverdier for $R$, $T$, $m$ og $g$ gir $H = 12.1$ km.
Integralet i $c)$ blir da lik 1, slik at $p(H)/p_0 = 1/e$. \\


$e)$ og $f)$ Se martian$_-$atmosphere.m. Figuren nedenfor viser at trykkprofilen blir 
ganske riktig ved {\aa} bruke konstant temperatur 234 K, med {\o}kende feil ved store h{\o}yder.

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{marstrykk.eps}}
%%END FIGURE
\caption{Trykk som funksjon av h{\o}yde over bakken p{\aa} planeten Mars, beregnet
med utgangspunkt i en realistisk temperaturprofil og med bruk av konstant temperatur.}
\end{figure}

Merknad: Numerisk l{\o}sning av integralet
$$\int_0^z \frac{dz'}{T(z')}$$
med Simpsons metode fordrer at intervallet fra $0$ til $z$ deles inn i et like antall
intervaller, dvs med et odde antall diskretiserte h{\o}ydeverdier, endepunktene $0$ og $z$
inkludert. Dette skyldes at metoden er basert p{\aa} {\aa} trekke parabler mellom nest
n{\ae}rmeste nabo h{\o}ydeverdier. Denne begrensningen har vi ikke med trapesmetoden,
der rette linjer trekkes mellom n{\ae}rmeste nabo h{\o}ydeverdier.

I programmet martian$_-$atmosphere.m brukes Simpsons metode for {\aa} bestemme
annenhver verdi for $p(z)$, dvs for de h{\o}ydeverdiene som tilsvarer at antall
intervaller er et partall. For de resterende h{\o}ydeverdiene brukes trapesmetoden.
Det ville selvsagt ha v{\ae}rt enklere {\aa} bruke trapesmetoden for alle verdier av $z$.

Merk at de to f{\o}rste h{\o}ydene, $z=0$ og $z=h$, m{\aa} behandles separat, ettersom
iterasjonsprosessen f{\o}rst kan startes med to verdier p{\aa} plass, en for iterasjon
med trapesmetoden og en for iterasjon med Simpsons metode.

\vspace{2.0cm}
{\bf Atmosf{\ae}ren p{\aa} jorda} \\

Noen eksempler p{\aa} relevante nettsider som gir temperaturprofilen gjennom jordas
atmosf{\ae}re:
\begin{itemize}
\item
\href{http://pcl.physics.uwo.ca/science/temperature/}{http://pcl.physics.uwo.ca/science/temperature/}
%%\item
%%\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Earth}{http://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Earth}
\item
\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Thermosphere}{http://en.wikipedia.org/wiki/Thermosphere}
\end{itemize}

I programmet earth.m er det brukt to funksjoner, Tlow og Thigh, for {\aa} tilpasse m{\aa}lt $T(z)$
opp gjennom jordas atmosf{\ae}re. Med en funksjon p{\aa} formen $[1 + \exp(\pm(z-d)/\sigma)]^{-1}$
skrus Tlow av og Thigh p{\aa} ved $z=d$, over et intervall av st{\o}rrelsesorden $\sigma$, slik at
de ganske ulike forl{\o}pene under og over $z \simeq 90$ km kan tilpasses med to ganske ulike
matematiske funksjoner. Det er brukt i alt 9 tilpasningsparametre ($a1$ - $a9$), og fremdeles er
vel ikke modellen helt perfekt. Uansett, her er resulterende modellprofil for $T(z)$:

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{jordtemp.eps}}
%%END FIGURE
\caption{Temperatur som funksjon av h{\o}yde over bakken p{\aa} jorda, beregnet
ved {\aa} tilpasse til realistiske publiserte temperaturprofiler.}
\end{figure}

Trykkprofilen bestemmes med samme metode(r) som i forrige oppgave. I earth.m integreres det
nedover, fra en kjent startverdi i h{\o}yde 350 km, med parametervalg som gir normalt trykk
(1 atm) ved $z=0$. Den realistiske trykkprofilen sammenlignes med det vi finner ved {\aa}
anta konstant temperatur 288 K (midlere temperatur ved jordoverflaten), samt kjent trykk
ved hhv jordoverflaten og i h{\o}yde 350 km.

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{jordtrykk.eps}}
%%END FIGURE
\caption{Trykk som funksjon av h{\o}yde over bakken p{\aa} jorda, beregnet
med utgangspunkt i en realistisk temperaturprofil og med bruk av konstant temperatur 288 K.}
\end{figure}

\vspace{2cm}
{\bf Atmosf{\ae}refysikk ved Institutt for fysikk} \\

De to professorene Patrick Espy og Robert Hibbins driver begge med forskning p{\aa}
atmosf{\ae}rens fysikk og problemstillinger knyttet til klima og meteorologi.
\href{http://www.ntnu.edu/physics/appliedphysics/atmosphere}{KLIKK HER} hvis du vil lese
mer om instituttets forskning p{\aa} atmosf{\ae}refysikk.

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.0in \epsfbox{espy.eps}
\hspace{2cm}
\epsfxsize=1.2in \epsfbox{hibbins.eps}}
%%END FIGURE
\caption{Patrick Espy og Robert Hibbins}
\end{figure}

\end{document}
</pre></body></html>