FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2014.

Løsningsforslag til øving 10

Van der Waals tilstandsligning

a) Vi har a = 27RbT_{c}/8 som innsatt i uttrykket for p_{c} gir p_{c} = RT_{c}/8b, dvs b = RT_{c}/8p_{c}. Dette kan vi sette inn i uttrykket for a, slik at a = 27R^{2}T_{c}^{2}/64p_{c}. Den dimensjonsløse kombinasjonen RT_{c}/p_{c}V_{c} har verdien R(8a/27Rb)/(a/27b^{2})3b = 8/3.

b) Innsetting av p = p_{r}p_{c} = p_{r} · RT_{c}/8b, T = T_{r}T_{c} og V = V_{r}V_{c} = V_{r} · 3b i tilstandsligningen gir

(p_{r} · RT_{c}/8b + a/(V_{r}^{2} · 9b^{2}))(V_{r} · 3b − b) = RT_{r}T_{c}.

Her kan vi på venstre side trekke ut faktoren RT_{c}/8b fra første faktor og b fra andre faktor, forkorte bort RT_{c} og gange med 8 på begge sider, og til slutt ende opp med

(p_{r} + 3/V_{r}^{2})(3V_{r} − 1) = 8T_{r},

i det vi innser at (a/9b^{2}) · (8b/RT_{c}) = 3.

c) For 1,1,1,2-tetrafluoretan (R134a), med kritisk temperatur og trykk hhv 374 K og 4060 kPa, parametriseres de to koeffisientene i van der Waals tilstandsligning til verdiene

a = 27 · 8.314^{2} · 374^{2}/64 · 4060000 = 1.00466 , b = 8.314 · 374/8 · 4060000 = 9.5734 · 10^{−5}.

Her har vi brukt utelukkende SI-enheter, slik at enhet for a blir Pa m^{6}, eventuelt N m^{4}, og enhet for b blir m^{3}. Den dimensjonsløse kombinasjonen RT_{c}/p_{c}V_{c} har eksperimentelt verdien 3.87 for R134a. Dette er noe høyere enn verdien 8/3, som forventes fra van der Waals tilstandsligning. (Andre velkjente gasser har også verdier som overstiger 8/3, f.eks He med 3.06, H_{2} med 3.27 og H_{2}O med 4.30.) Som nevnt i forelesningene, van der Waals tilstandsligning er kvalitativt men som regel ikke kvantitativt riktig for reelle fluider.

d) Programmet vdw1.m svarer på bestillingen i oppgaven. Resulterende figur: e) I programmet ov10_lf.m leses det inn en gjetning på væskevolumet, hvoretter det beregnes hvilket gassvolum som gir samme trykk. Forskjellen mellom arealet under p(V) og arealet under den rette linjen bestemmes og skrives ut. Deretter må programmet startes på nytt dersom man vil foreta en ny og bedre gjetning på væskevolumet.

I programmet ov10_lf_auto.m leses det inn startverdi for væskevolum og gassvolum, hvoretter koeksistenstrykket beregnes med en iterativ metode. Resulterende figur:

Her er det brukt startverdier 0.17 L for væskevolumet, 1.5 L for gassvolumet, og maksimalt relativt avvik 0.0001 hva angår Maxwells regel om like arealer. Etter 12 iterasjoner skriver programmet ut verdiene

V_{v} ≃ 0.1684004 L , V_{g} ≃ 0.7356121 L

og

p_{1} ≃ p_{2} ≃ 24.4410 bar.