FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2014. Veiledning: 17. og 20. mars. Innleveringsfrist: Fredag 21. mars kl 16.

Øving 10

Van der Waals tilstandsligning

a) Van der Waals tilstandsligning for stoffmengden 1 mol,

(p + a/V^{2})(V − b) = RT,

gir kritisk punkt

T_{c} = 8a/27Rb , p_{c} = a/27b^{2} , V_{c} = 3b.

Vis at a og b – dersom vi velger å parametrisere med utgangspunkt i kritisk temperatur og trykk – kan uttrykkes som

a = 27R^{2}T_{c}^{2}/64p_{c} , b = RT_{c}/8p_{c}.

Vis også at dette gir verdien 8/3 for kombinasjonen RT_{c}/p_{c}V_{c}.

b) Vis at dersom vi innfører dimensjonsløse (”reduserte”) størrelser p_{r} = p/p_{c}, T_{r} = T/T_{c} og V_{r} = V/V_{c}, kan van der Waals tilstandsligning skrives på formen

(p_{r} + 3/V_{r}^{2})(3V_{r} − 1) = 8T_{r}.

[Dette kalles gjerne ”loven om korresponderende tilstander” (van der Waals, 1880): Ulike stoffer som oppfyller van der Waals tilstandsligning, er i korresponderende tilstander dersom de har samme trykk, temperatur og volum, målt i enheter av kritisk trykk, temperatur og volum.]

c) Kjølemediet R134a (1,1,1,2–tetrafluoretan; benyttet i varmepumpa i laboppgave 1) har kritisk temperatur, trykk og (molart) volum henholdsvis 374 K, 4060 kPa og 0.198 L. Bruk disse eksperimentelle verdiene til å parametrisere koeffisientene a og b for R134a, som beskrevet i punkt a). Hva er den eksperimentelle verdien for RT_{c}/p_{c}V_{c} for R134a? [Gasskonstanten er R = 8.314 J/mol K.]

d) Plott (van der Waals) isotermer for (1 mol av) R134a i et (p, V)-diagram. Lag først en figur der isotermer tegnes opp for temperaturer mellom 334 og 414 K, med intervall 20 K mellom påfølgende kurver. Beregn p(V) for V mellom 0.12 og 2.00 L, mens kurvene plottes i et diagram der V -aksen går fra 0 til 1 L og p-aksen fra 0 til 10 MPa. Tegn også, i samme figur, isotermer basert på ideell gass tilstandsligning for laveste og høyeste temperatur, dvs 334 og 414 K.

Legg merke til overgangen fra monotont avtagende kurver til ikke-monotone p(V) ved T = 374 K.

For Matlabtips, se matlabtips10.pdf. e) For temperaturer T under kritisk temperatur T_{c} gir van der Waals tilstandsligning koeksistens mellom væske og gass for en bestemt verdi av trykket, p_{co}, der det såkalte koeksistenstrykket p_{co} fastlegges ved hjelp av Maxwells regel om like arealer, dvs like stort gult (lyst) som blått (mørkt) areal i figuren under, alternativt den ekvivalente betingelsen

p_{co} · (V_{g} − V_{v}) = ∫_{V_{v}}^{V_{g}} p(V) dV,

der V_{v} og V_{g} er hhv (molart) væskevolum og gassvolum.

Bruk Maxwells regel om like arealer til å fastlegge koeksistenstrykket p_{co}, med en nøyaktighet på 0.1 kPa, for temperaturen T = 331 K. Dette tilsvarer ”typisk temperatur ved utgang kompressor” (T_{2}) i laboppgave 1, se Tabell 1.1 side 9 i Labheftet. I labforsøket er trykket der ca 10.5 bar, betydelig mindre enn p_{co}, slik at kjølemediet er i gassform.