FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2014.

Løsningsforslag til øving 11

Oppgave 1 Frysepunktnedsettelse for en svak løsning:

ΔT = −\frac{RT^{2}}{l_{s}} x_{s}.

Her er l_{s} den molare smeltevarmen til løsningsmiddelet, og x_{s} er molbrøken til det oppløste stoffet. Atomvektene til C, H og O er hhv 12, 1 og 16, som gir molekylvekter på 62 for etylenglykol og 46 for etanol. Med lik vekt (masse) på tilsatt stoff er det da klart at etanol gir størst molbrøk, og dermed lavest frysepunkt. Vi sjekker derfor om tilsats av 500 g etanol til 4 L vann gir tilstrekkelig beskyttelse mot vinterkulde i Trondheim. Etter tilsatsen er det totale antall mol lik

\frac{500}{46} + \frac{4000}{18},

slik at

x_{s} = \frac{500/46}{500/46 + 4000/18} = \frac{1}{1 + 4000 · 46/18 · 500} = 0.0466.

Vannets molare smeltevarme:

l_{s} = 80 cal/g · 18 g/mol · 4.184 J/cal = 6.0 kJ/mol.

Dermed:

ΔT = −\frac{8.314 · 273^{2}}{6.0 · 10^{3}} · 0.0466 = −4.8 K.

Dette holder nok ikke gjennom en normal Trondheimsvinter! For større tilsatser blir etter hvert teorien vår for dårlig (dvs hvis x_{s} ikke lenger kan betraktes som liten), men eksperimentelt viser det seg at ca 30 vektprosent med etanol er nødvendig for å gi et frysepunkt på 19 kuldegrader, og ca 56 vektprosent må til for å gi frysepunkt på 41 kuldegrader. Det burde holde til og med på Tynset og deromkring.

Oppgave 2

a) Sluttvolumet er V_{2} = V_{1}/4, der V_{1} er startvolumet. Produsert ferskvann er

V_{1} − V_{2} = \frac{3}{4}V_{1} = 1 m^{3},

slik at

V_{1} = \frac{4}{3} m^{3}.

Mengden salt i startvolumet V_{1} er bestemt av det osmotiske trykket Δp_{0} = 23 atm via uttrykket

Δp = n\frac{RT}{V} ,

der n er antall mol oppløst stoff. Dette gir n = (Δp_{0}V_{1})/RT. Deretter kan n elimineres slik at for vilkårlig volum blir det osmotiske trykket

Δp = Δp_{0} \frac{V_{1}}{V} .

Det teoretisk minste arbeidet som trengs for å utvinne 1 m^{3} (dvs 1 tonn) ferskvann blir dermed

W = − ∫_{V_{1}}^{V_{2}} ΔpdV = Δp_{0}V_{1} ∫_{V_{2}}^{V_{1}} \frac{dV}{V}
= Δp_{0}V_{1} ln \frac{V_{1}}{V_{2}} = Δp_{0}V_{1} ln 4
= 23 · 1.013 · 10^{5} Pa · \frac{4}{3} m^{3} · ln 4
= 4.3 · 10^{6} J = 1.2 kWh.

Med kraftprisen 0.80 kr pr kWh blir den teoretiske minsteprisen 96 øre pr tonn ferskvann.

b) Ved vanlig destillasjon må fordampningsvarmen for vann, L = 540 cal/g = 40.7 kJ/mol, tilføres. Uten bruk av varmevekslere må også vannet varmes opp ca 80 grader (fra 20^{∘}C til 100^{∘}C) ved tilførsel av energi. Dette gir i så fall en total energitilførsel

Q ≃ (540 + 80) cal/g = 620 · 4.184 J/g = 2.6 · 10^{9} J/tonn ≃ 720 kWh/tonn.

Dette vil gi en pris på 576 kr pr tonn ferskvann.

c) Effekten som kan tas ut blir

P = Δp · Q = (Δp_{0} − Δp_{t})Q = (Δp_{0} − λQ)Q.

Konstanten λ bestemmes av at Δp_{0} = λQ_{0}, dvs

λ = \frac{Δp_{0}}{Q_{0}} ,

slik at

P = Δp_{0} (1 − \frac{Q}{Q_{0}} ) Q = Δp_{0}Q_{0} (1 − \frac{Q}{Q_{0}} ) \frac{Q}{Q_{0}} .

Maksimal effekt bestemmes ved å derivere og sette lik null:

0 = \frac{∂P}{∂Q} = Δp_{0} (1 − \frac{2Q}{Q_{0}}) ,

dvs Q = Q_{0}/2. Maksimal effekt blir

P_{max} = Δp_{0}(1 − 1/2) · Q_{0}/2 = Δp_{0}Q_{0}/4 = 23 · 1.013 · 10^{5} Pa · 0.125 m^{3}/s/4 = 7.28 · 10^{4} J/s ≃ 73 kW.

Oppgave 3

a) Det osmotiske trykket er gitt ved

Δp = \frac{RT}{V} Δx,

der V er det molare volumet for oppløsningsmiddelet og Δx er molbrøkforskjellen på de to sidene av membranen. (Dette er en enkel generalisering av situasjonen med rent oppløsningsmiddel på den ene siden. Med molbrøker x_{1} og x_{2} med oppløst stoff på hver side er Δx = |x_{2} − x_{1}|.) Den maksimale verdien som kan tolereres uten å ødelegge cellemembranen blir derfor

Δx = \frac{V}{RT} Δp = \frac{18 · 10^{−6}}{8.314 · 310} · \frac{5}{760} · 1.013 · 10^{5} = 4.7 · 10^{−6}.

b) Frysepunktnedsettelsen er gitt ved

ΔT = −\frac{RT^{2}}{L} x.

Oppløst molbrøk blir følgelig

x = −\frac{L}{RT^{2}} ΔT = \frac{6.0 · 10^{3}}{8.314 · 273^{2}} · 0.535 = 5.2 · 10^{−3},

der smeltevarmen er L ≃ 80 cal/g = 80 · 4.184 · 18 J/mol ≃ 6.0 kJ/mol. Maksimal relativ endring som kan tåles:

\frac{Δx}{x} = \frac{4.7 · 10^{−6}}{5.2 · 10^{−3}} ≃ 0.9 · 10^{−3} ≃ 0.1%.

Ved injeksjon i blodomløpet tilsettes en passelig mengde koksalt slik at molbrøken blir fysiologisk riktig (en såkalt isotonisk løsning). Finjustering skjer ved at blodcellene kan avgi eller oppta noe vann, dvs endre volum, uten å sprekke.

Oppgave 4 Indre energi knyttet til luftmolekylenes bevegelser (toatomige molekyler med rotasjonsfrihetsgradene eksitert, ideell gass) er

U_{m} = \frac{5}{2}NkT = \frac{5}{2}p_{m}V = 2.5 · 10^{5} · 0.067 = 16750 J,

uavhengig av temperaturen, siden trykket p_{m} er konstant lik atmosfæretrykket, ca 1 bar. Indre energi knyttet til fotonene er ved den høye temperaturen

U_{s} = u_{s}V = αT^{4}V = 7.56 · 10^{−16} · 573^{4} · 0.067 = 5.5 μJ.

Med andre ord, neglisjerbart for alle aktuelle temperaturer. Vi kan skrive

U_{s} = u_{s}V = 3p_{s}V,

som gir strålingstrykket

p_{s} = U_{s}/3V = 5.5 · 10^{−6}/3 · 0.067 = 2.7 · 10^{−5} = 27 μPa.

Oppgave 5 Fra dF = −pdV − SdT følger det at p = −(∂F/∂V)_{T} og S = −(∂F/∂T)_{V}. De oppgitte uttrykkene for p, S og F stemmer med dette.

Oppgave 6 Netto emittert strålingseffekt pr flateenhet er

j_{netto} = σ (T_{hud}^{4} − T_{omg}^{4}) = 5.67 · 10^{−8} · (303^{4} − 268^{4}) ≃ 186 W/m^{2}.

Overflatearealet avhenger av hvor stor personen er, men la oss f.eks si at A = 1.8 m^{2}. Da er P_{netto} = j_{netto}A ≃ 335 W. Normalt matinntak tilsvarer ca 10000 kJ pr døgn, som tilsvarer en ”effekt” P_{mat} = 10^{7}/3600·24 ≃ 116 W. Dette er betydelig mindre enn strålingstapet. Redningen er klær. Solas utsendte strålingseffekt er

P_{sol} = j_{sol}A_{sol} = σT_{sol}^{4} · 4πR_{sol}^{2},

som med oppgitte verdier er ca 3.9 · 10^{26} W, dvs ca 0.2 mW pr kg. Pr masseenhet sender du ut mye mer: Hvis din masse er 86 kg, og vi bruker brutto utsendt strålingseffekt σT_{hud}^{4} ≃ 860 W, snakker vi om ca 10 W pr kg.

Oppgave 7 Her er det snakk om å maksimere andelen i bølgelengdefordelingen ξ(λ, T) som ligger mellom 400 og 700 nm. Wiens forskyvningslov gir maksimal ξ ved 500 nm for sollyset, som tilsvarer 5800 K. En første gjetning kan derfor være at temperaturen bør ligge i nærheten av dette. Med Matlabprogrammet synlig.m går vi grundigere til verks og regner ut relativ andel utstrålt energi i det synlige området som funksjon av temperaturen (med numerisk integrasjon). Figuren nedenfor, til venstre, viser at maksimal andel inntreffer omtrent ved 7000 K. Til høyre, bølgelengdefordelingen ved 7000 K.

(Såvidt jeg vet smelter alle kjente materialer ved langt lavere temperaturer enn 7000 K, ved normalt trykk. Wolfram smelter ved 3687 K.)

Biofysikk ved Institutt for fysikk I biofysikk brukes metoder fra fysikken til å studere biologiske systemer. Institutt for fysikk har betydelig forskningsaktivitet innen biofysikk og medisinsk teknologi. KLIKK HER hvis du vil lese mer om forskning på biologiske polymerer, bionanoteknologi og medisinsk fysikk.

Figur 1: Catharina Davies, Razi Naqvi, Bjørn Torger Stokke, Pawel Sikorski, Magnus Lilledahl, Marit Sletmoen, Pål Erik Goa og Rita Dias er biofysikere ved Institutt for fysikk.

Optikk og utnyttelse av solenergi ved Institutt for fysikk Ved seksjon for anvendt fysikk står optikk og forskning på nye materialer for bedre utnyttelse av solenergi sentralt. KLIKK HER hvis du vil lese om forskning innen laserfysikk, interferometri, solcellematerialer med mer.

Figur 2: Mikael Lindgren, Irina Sorokina og Morten Kildemo jobber med anvendt optikk. Turid Reenaas og Ursula Gibson forsker på nye materialer for bedre utnyttelse av solenergi.