FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2014.

Løsningsforslag til øving 5

Maxwellfordelingen

Selv om det ikke var en del av oppgavene, la oss innledningsvis se på sammenhengene mellom de ulike fordelingsfunksjonene.

Med uavhengige hastighetskomponenter blir hastighetsfordelingen F (v) (antatt isotrop) lik produktet av de ulike komponentfordelingene:

F (v) = g(v_{x}) · g(v_{y}) = \frac{B}{π} e^{−Bv^{2}},

der v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}.

Analogt det vi gjorde i forelesningene (for tredimensjonal hastighetsfordeling) har vi nå, i to dimensjoner:

f(v)dv = ∫_{ϕ=0}^{2π} F (v)dv v dϕ = 2πvF (v)dv,

dvs fartsfordelingen er

f(v) = 2πvF (v) = 2Bve^{−Bv^{2}}.

a) Se MATLAB-programmet losning5.m. Konstanten B er fastlagt med utgangspunkt i de eksperimentelle data,

B = B_{exp} = \frac{1}{⟨v^{2}⟩_{exp}} = 5.9394 · 10^{−4} (s/cm)^{2},

siden

⟨v^{2}⟩ = ⟨v_{x}^{2}⟩ + ⟨v_{y}^{2}⟩ = \frac{1}{B} .

b) Skivene har rms-fart 0.41 m/s, og massen er 0.032 kg. Dette tilsvarer en kinetisk energi 2.7 mJ pr ”partikkel”. Setter vi dette lik termisk energi k_{p}T med T = 300 K, får ”Boltzmanns plastskivekonstant” verdien k_{p} ≃ 9 · 10^{−6} J/K. Eventuelt: Setter vi skivenes kinetiske energi lik termisk energi kT til en omgivende gass (med k = Boltzmanns konstant), finner vi en temperatur T ∼ 2 · 10^{20} K.

c) Plastskivenes midlere fart er 36 cm/s, mens rms-hastigheten er 41 cm/s. Forholdet mellom disse to er ca 0.88, ikke langt unna den teoretisk forventede verdien \sqrt{π}/2 ≃ 0.89.

d) Det umiddelbare inntrykket av posisjonsfordelingen er vel at skivene er noenlunde jevnt fordelt over hele bildet, mens hastighetsfordelingen i større grad avtar ”radielt” utover fra sentrum (v = 0). Posisjonsfordelingen viser at skivebanene har en tendens til å krumme oppover, noe som tyder på en viss drift i positiv y-retning. Eksperimentelt er da også ⟨v_{y}⟩ noe større enn null (ca 1.8 cm/s). På den annen side, ⟨v_{x}⟩ er også positiv (ca 2.1 cm/s), uten at dette gjenspeiler seg i skivebaner som krummer mot høyre i figuren. En alternativ forklaring på at ⟨v_{x}⟩ > 0 kan være at plastskivene får en noe kraftigere dytt av den vibrerende veggen til venstre enn av den til høyre.

Figurer produsert i Matlab ved å kjøre programmet losning5.m:

Numerisk fysikk ved Institutt for fysikk

Figur 1: Alex Hansen, Ingve Simonsen, Peter Berg og Pietro Ballone er numeriske fysikere ved Institutt for fysikk. Modellering, simuleringer og numeriske beregninger inngår forøvrig i virksomheten til de fleste av instituttets forskningsgrupper.