FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2014. Veiledning: 3. og 6. mars. Innleveringsfrist: Fredag 7. mars kl 16.

Øving 8

Oppgave 1

To like store metallklosser har (hver for seg) varmekapasitet C, som antas å være konstant, uavhengig av temperaturen. Klossenes volumutvidelseskoeffisient er praktisk talt lik null. Temperaturen til de to klossene er i utgangspunktet T_{1} og T_{2} > T_{1}, og klossene er termisk isolert fra omgivelsene:

Dersom vi lar klossene utveksle varme med hverandre irreversibelt, og uten at vi tar ut noe nyttig arbeid, vil den totale entropien til systemet øke, felles slutt-temperatur blir T_{0} = (T_{1} + T_{2})/2, og like mye varme |Q_{2}| forlater den varmeste klossen som det som tilføres den kaldeste klossen (Q_{1}), Q_{1} = −Q_{2} = C(T_{0} − T_{1}) = C(T_{2} − T_{1})/2. (Se forelesningene, om irreversible prosesser.)

Alternativt kan vi tenke oss at vi lar de to klossene drive en varmekraftmaskin, slik at vi kan ta ut et nyttig arbeid W, som antydet i figuren. Vis at det maksimale arbeidet (eksergien) som kan tas ut i en tenkt reversibel prosess er

W_{max} = C (\sqrt{T_{2}} − \sqrt{T_{1}})^{2} ,

og at likevektstemperaturen i dette tilfellet blir

T_{0} = \sqrt{T_{1}T_{2}}.

Vis at denne likevektstemperaturen alltid er mindre enn for den irreversible temperaturutjevningen (der vi ikke tar ut nyttig arbeid).

Oppgave 2

Tips: Bestem T_{0} ved å se på entropiendringen til hver av klossene, samt at du utnytter at ΔS = 0 for reversible prosesser i et termisk isolert system. Videre er W_{max} = −ΔG = −Δ(U + p_{0}V − T_{0}S). a) En ideell gass kjøles fra temperaturen T til T_{0}. Omgivelsenes temperatur er hele tiden T_{0}. Start- og slutt-tilstanden har samme volum (ΔV = 0). Vis at det maksimale arbeid som er mulig å få ut av gassen er

W_{max} = C_{V} (T − T_{0}) − C_{V} T_{0} ln \frac{T}{T_{0}} .

Tips: Entropi for ideell gass er S = C_{V} ln T + nR ln V + konst.

b) Hvor mye varme avgis, og hva er det maksimale arbeidet når gassen er ett mol toatomig gass, og avkjølingen er fra 100^{∘}C til 20^{∘}C? (Svar: W_{max} = 193 J.)

c) En måte å ta ut det maksimale arbeidet på er å la en Carnot-maskin virke mellom den øvre avtagende temperaturen og den faste T_{0}. Vis at dette gir det samme arbeidet W_{max}.

Tips: La den ideelle gassen representere høytemperaturreservoaret, med varierende (avtagende) temperatur, fra T til T_{0}. Virkningsgraden til Carnot-maskinen vil dermed også variere (avta), fra verdien 1 − T_{0}/T til verdien 1 − T_{0}/T_{0} = 0.

d) En annen måte å ta ut det maksimale arbeidet på er først å ekspandere gassen adiabatisk slik at temperaturen synker til T_{0}. Deretter komprimeres den isotermt tilbake til opprinnelig volum. Vis at dette også gir samme arbeid W_{max}.

Tips: For adiabat med ideell gass gjelder pV^{γ} = konstant og T V^{γ−1} = konstant (med γ = C_{p}/C_{V}).

I øving 4, oppgave 5, studerte vi en ideell paramagnet med N ikke-vekselvirkende kvantiserte spinn i et ytre magnetfelt B. Hvert spinn kunne peke ”opp” eller ”ned” relativt det ytre feltet, slik at partisjonsfunksjonen (pr spinn) ble z = 2 cosh(μ_{B}B/kT), og magnetiseringen (magnetisk moment pr volumenhet) ble M = (Nμ_{B}/V) tanh(μ_{B}B/kT). Hvis feltet er svakt, dvs μ_{B}B ≪ kT, gir dette lineær respons, M ∼ B/T, dvs Curie’s lov.

I denne oppgaven skal vi studere entropien til en slik ideell paramagnet. Siktemålet er deretter å kunne beskrive magnetisk kjøling (adiabatisk demagnetisering).

Som i øving 4 lar vi m angi midlere magnetisk moment pr spinn (eller pr partikkel, om du vil), men skalert med faktoren μ_{B} slik at et gitt magnetisk moment har verdien +1 eller −1, og m blir en dimensjonsløs størrelse. Videre lar vi h = μ_{B}B representere det ytre magnetfeltet, dvs h blir en størrelse med enhet som energi. Dermed har vi

m = tanh βh , z = 2 cosh βh (β ≡ 1/kT),

og arbeidet utført av spinnsystemet, pr spinn, når midlere magnetisk moment, pr spinn, endres fra m til m + dm blir d̄w = −h dm.

a) Vis at entropien σ kan uttrykkes ved partisjonsfunksjonen z, som σ = k ∂(T ln z)/∂T.

Oppgitt: f = −kT ln z, f = u − T σ, T dσ = du + p dv (med f, z, u, σ, v = hhv Helmholtz fri energi, partisjonsfunksjon, indre energi, entropi og volum, alle størrelser pr spinn). Tips: Utnytt analogien p dv → −h dm.

b) Med kjent partisjonsfunksjon z kan dermed entropien σ bestemmes. Vis at σ, i første omgang som funksjon av h og β, blir

σ = k [ln 2 + ln cosh βh − βh tanh βh] .

Du observerer nå at σ kun avhenger av produktet βh, og siden midlere magnetiske moment m også er en funksjon av produktet βh, innser du at entropien må kunne skrives som en funksjon av m alene, σ = σ(m). Eliminer βh fra σ(βh) ved å invertere m = tanh(βh). Vis at dette gir βh = \frac{1}{2} ln [(1 + m)/(1 − m)]. Vis deretter at entropien blir

σ(m) = k [ln 2 − \frac{1}{2}(1 + m) ln(1 + m) − \frac{1}{2}(1 − m) ln(1 − m)] .

c) Alternativt kan entropien bestemmes direkte fra Boltzmanns prinsipp, S = Nσ = k ln W. Anta at et antall N_{+} og N_{−} spinn peker henholdsvis med og mot magnetfeltet. Totalt magnetisk moment blir dermed Nm = N_{+} − N_{−}. Samtidig har vi selvsagt N = N_{+} + N_{−}. Beregn antall mikrotilstander W som er forenlig med et gitt magnetisk moment Nm (dvs med Nm = N_{+} − N_{−} fast) og vis med det at entropien blir som i punkt b. Oppgitt: ln N! = N ln N − N når N → ∞.

d) Et spinnsystem som dette kan benyttes til å oppnå svært lave temperaturer ved å bruke adiabatisk demagnetisering. Et kraftig magnetfelt h_{2} settes på isotermt ved en (forholdsvis lav) starttemperatur T_{2}. Deretter fjernes den termiske koblingen til omgivelsene (varmereservoaret med temperatur T_{2}), og magnetfeltet slås av adiabatisk. I praksis, på grunn av en svak kobling mellom spinnene, ender en opp med et effektivt magnetfelt h_{1} > 0 (og ikke h_{1} = 0). Hva blir resulterende temperatur T_{1}? [Vi antar at andre bidrag til entropien kan neglisjeres. For lave temperaturer T er spesifikk varme fra kvantiserte gittervibrasjoner C ∝ T^{3}, slik at bidraget til entropien herfra, ∫ (C/T) dT kan neglisjeres.]