\chapter{SPESIFIKK VARMEKAPASITET TIL METALLER  \label{ch.spesifikkvarme}}
\bigskip
\subsection*{M{\aa}l}
%\bigskip
\noindent

I denne laboratorieoppgaven skal du m{\aa}le varmen som avgis fra en metallbit n{\aa}r
den avkj{\o}les fra romtemperatur til temperaturen i flytende nitrogen. Dette danner grunnlaget for {\aa}
bestemme einsteintemperaturen til det aktuelle metallet. Viktige mål med laboppgaven er: 
\begin{itemize}
  \item Å forstå fysiske begrep og matematiske sammenhenger som inngår i varmeopptak av og varmeavgivelse fra objekter.
  \item Å innse betydningen måling av varmekapasitet har hatt for utviklingen av kvanteteori.
  \item Å lære å tilpasse teoretiske uttrykk til eksperimentelle data, å konvertere fra en enhet til en annen,
        og å bli oppmerksom på både verdien og begrensningen av en vitenskapelig modell.
\end{itemize}
\section{Teoretisk bakgrunn}       % Enter section title between curly braces

\subsection{Introduksjon til kalorimetri}    % Enter subsection title between curly braces

Den spesifikke varmekapasiteten (også kalt den spesifikke varmen) til et stoff, vanligvis betegnet ved $c$, er 
definert som den mengden varme som trengs for å øke temperaturen til en masseenhet av stoffet med 1$^\circ$C (eller 1 K).
Verdien er avhengig av den initielle temperaturen. Det vil si at hvis en gitt varmemengde øker temperaturen til et 
legeme (med masse $m$) fra  $T_1$ til $T_2$, så er den gjennomsnittlige spesifikke varmekapasiteten $\overline{c}$ 
gitt ved $Q/m(T_2-T_1)$. Hvis temperaturen øker bare litt, fra $T$ til $T+\Delta T$, så er den spesifikke 
varmekapasiteten ved temperaturen $T$ gitt ved ($1/m)(\Delta Q/\Delta T)$. Varmekapasiteten til et gitt legeme er 
produktet av legemets masse og det aktuelle stoffets spesifikke varme.

%%I det følgende skal vi ta for oss en metode for blandinger.  Den varmemengden som ønskes målt overføres da til 
%%en kjent mengde vann i en isolert beholder (kalt kalorimeter) med kjent varmekapasitet, og så måles den resulterende temperaturendringen. 
Anta at et legeme med masse $m_1$, spesifikk varmekapasitet $c_1$ og initiell temperatur $T_0$ 
senkes ned i en v{\ae}ske med masse $m_2$, spesifikk varmekapasitet $c_2$ og temperatur $T_2$, 
og la $T_f$ være felles sluttemperatur til legemet og v{\ae}sken.
Siden varmen avgitt fra legemet må være lik varmen tatt opp av v{\ae}sken, får vi
\begin{equation}\label{eq:heatbalance}
m_1 c_1 (T_0-T_f) = m_2 c_2(T_f-T_2),
\end{equation}
slik at
\begin{equation}\label{eq:cOne}
c_1 =\frac{(m_2 c_2)(T_f-T_2)}{m_1(T_0-T_f)}.
\end{equation}
Dersom temperaturen til beholderen som v{\ae}sken befinner seg i, forandrer seg i eksperimentet,
m{\aa} man ta hensyn til dette i energiregnskapet. Dersom varmen avgitt fra legemet,
som her, f{\o}rer til at en del av v{\ae}sken fordamper, ved konstant temperatur $T_2 = T_f$,
m{\aa} h{\o}yre side av (\ref{eq:heatbalance}) erstattes med fordampingsvarmen $L \, \Delta m$.
Her er $L$ v{\ae}skens spesifikke fordampingsvarme (dvs pr masseenhet), og $\Delta m$ er
massen til v{\ae}sken som har fordampet som f{\o}lge av varmen tilf{\o}rt fra legemet.
%%Denne sammenhengen danner grunnlaget for bestemmelsen av spesifikk varmekapasitet, men for presise målinger trenger 
%%man ulike korreksjoner for å kompensere for varmetap fra systemet til omgivelsene. %Se Appendix I for flere detaljer.

Noen ganger kan det være mer hensiktsmessig å uttrykke den spesifikke varmekapasiteten ved bruk av molar varmekapasitet,
dvs energien som trengs for å øke temperaturen til ett mol av materialet med en grad celcius eller kelvin. 
Molar varmekapasitet betegner vi med $c_m$, og vi inkluderer et subscript, $p$ eller  $V$, for å spesifisere 
hvilken parameter (trykk eller volum) som holdes konstant ved temperaturendringen.

\subsection{Klassisk betraktning av spesifikk varmekapasitet (basert på kinetisk teori)}

Hvis man anser atomene i en monoatomisk gass som strukturløse punktmasser, hver med tre frihetsgrader, vil ett mol av 
gassen til sammen ha $3N_A$ frihetsgrader, der $N_A$ er antallet molekyler i ett mol av gassen. I tilfellet med en 
ideell gass vil ikke molekylene ha noe potensiell energi, og total energi til ett mol av en monoatomisk gass vil derfor være
(i følge det klassiske ekvipartisjonsprinsippet)
\begin{equation}\label{eq:ClassicalE}
E=3N_A \times \textstyle{\frac{1}{2}}k_{\rm B}T=\frac{3}{2}RT
\end{equation}
som fører til følgende uttrykk for molar spesifikk varmekapasitet:
\begin{equation}\label{eq:ClassicalCv}
c_{Vm}=\frac{\partial E}{\partial T}=\textstyle{\frac{3}{2}}R.
\end{equation}
For alle ideelle gasser er $c_{pm}-c_{Vm} = R$, noe som medfører at
\begin{equation}\label{eq:ClassicalCv}
c_{pm}=\textstyle{\frac{5}{2}}R.
\end{equation}
Disse uttrykkene er i ypperlig overensstemmelse med oppførselen til edelgasser (He, Ne etc).

I en klassisk beskrivelse er molekylene i en to-atomig gass fast bundet til hverandre. Når man anser atomene som 
punktpartikler, vil hvert molekyl ha tre frihetgrader for translasjon og to for rotasjon om de to aksene som står 
vinkelrett på den interatomære aksen. Argumentasjonen for å ignorere en frihetsgrad for rotasjon var noe usikker, 
men vi skal ikke gå inn på det i detalj her. Vi ender dermed opp med at den totale energien til ett mol av en slik gass 
vil være  $E=\textstyle{\frac{5}{2}}RT$, og
\begin{equation}\label{eq:ClassicalC2at}
c_{Vm}=\textstyle{\frac{5}{2}}R,\quad  c_{pm}=\textstyle{\frac{7}{2}}R.
\end{equation}
Dette er tilnærmet riktig for noen gasser rundt 300 K. Hovedproblemet her er at spesifikk varmekapasitet er forutsatt 
å være uavhengig av temperatur, og denne forutsetningen bekreftes ikke av eksperimentelle observasjoner (se under).

Samme tankegang kan brukes for å finne et uttrykk for molar varmekapasitet til faste stoffer. En krystall som består av 
$N$ atomer vil ha $3N$ vibrasjonsmoder og totalt $6N$ frihetsgrader. (To kvadratiske ledd i energifunksjonen for hver
vibrasjonsmode, et for kinetisk energi og et for potensiell energi.) Hver frihetsgrad bidrar i følge
ekvipartisjonsprinsippet med energien $\frac{1}{2}k_{\rm B}T$, og den molare varmekapasiteten blir dermed $c_{Vm}=3R$; 
en sammenheng som er kjent som Dulong og Petits lov. Imidlertid viser målinger at den spesifikke varmekapasiteten 
til faste stoffer er avhengig av temperaturen,  spesielt ved lave temperaturer. Til og med ved 
romtemperatur er den molare varmekapasiteten til noen stoffer, inkludert diamant (eksempelet brukt av Einstein), 
signifikant mindre enn $3R$.

Lenge før slutten av det nittende århundre ble det åpenbart at variasjonen i spesifikk varmekapasitet for gasser og 
faste stoffer ikke kunne forklares ved bruk av teorier som ellers hadde vist seg å være vellykkede. Det første viktige 
steget mot en tilfredsstillende forklaring av fenomenet, i det minste når det gjelder faste stoffer, ble utført av Einstein.

\subsection{Einsteins teori for varmekapasiteten til faste stoffer}

Einstein antok at en krystall som består av $N$ atomer kan anses som en samling av $3N$ uavhengige endimensjonale 
oscillatorer, og han tok hensyn til Plancks kvantehypotese ved {\aa} kreve at energien til hver oscillator
er kvantisert,
%%tilføyde et krav om at energien til hver oscillator er kvantisert i henhold til følgende ligning,
\begin{equation}\label{eq:Quantize}
E=kh\nu = kE_1=E_k,\quad k=0,1,2,\dots
\end{equation}
Her er $h$ Plancks konstant, og $\nu$ er oscillatorens frekvens.
Den gjennomsnittlige energien til en enkelt oscillator blir da (i f{\o}lge statistisk mekanikk)
\begin{equation}\label{eq:AvEn}
\langle E \rangle =\frac{E_1\e^{-E_1/k_{\rm B}T}+E_2\e^{-E_2/k_{\rm B}T}+\ldots}{1+\e^{-E_1/k_{\rm B}T}+
\e^{-E_2/k_{\rm B}T}+\ldots}=
\frac{E_1\e^{-E_1/k_{\rm B}T}}{1-\e^{-E_1/k_{\rm B}T}}=\frac{E_1}{\e^{E_1/k_{\rm B}T}-1}.
\end{equation}
Derav følger resultatet utledet av Einstein:
\begin{equation}
c_{Vm}=3R\left ( \frac{E_1}{k_{\rm B}T} \right )^2\frac{\e^{-E_1/k_{\rm B}T}}{[1-\e^{-E_1/k_{\rm B}T}]^2} =
    3R\left ( \frac{E_1}{k_{\rm B}T} \right )^2\frac{\e^{E_1/k_{\rm B}T}}{[\e^{E_1/k_{\rm B}T}-1]^2}.
\label{eq:EinCv}
\end{equation}
Du bør overbevise deg selv om at $c_{Vm}$ går mot null når temperaturen går mot null, og at man oppnår Dulong og Petits 
lov ved høye temperaturer. Størrelsen $\mathit\Theta_{\rm E}=E_1/k_{\rm B}=h\nu/k_{\rm B}$ er den såkalte 
einsteintemperaturen til det aktuelle stoffet.

\section{Forhåndsoppgaver}

{\it Disse oppgavene skal du gjøre som en forberedelse til laboratorieøvingen. Du skal vise frem og få godkjent 
forhåndsoppgavene av labassistenten før øvingen begynner\/}.

\subsection{Eksempel brukt av Einstein: diamant}

Einstein brukte eksperimentelle data for diamant for å teste sin teori. Figuren og tabellen hans (fra side 186 og 190 
i hans publikasjon \cite{einstein}) er gjengitt nedenfor. Merk at han brukte symbolet $c$ i steden for vår $c_{Vm}$.


\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Booklet/EinsteinHeer.TIF
  \includegraphics[width=10cm]{EinsteinHeer.eps}
  %\includegraphics[bb=0 0 437 271,width=10cm,height=6.20cm,keepaspectratio]{EinsteinHeer.eps}
  \caption{\small\sf Einstein plottet varmekapasiteten til diamant (sirkler) som funksjon av temperaturen for å vise 
                     at atomære vibrasjoner er kvantisert. Benevning for x-aksen er $T/\mathit\Theta_{\rm E}$. 
                     Varmekapasiteten (y-aksen) er gitt i cal/(mol K). Den glatte kurven er basert på hans teori.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur1}
\end{figure}

\bigskip

\centerline{\small Tabell 3.1: Einsteins tabell} 
\centerline{\includegraphics[width=6cm]{EinsteinTable.eps}}
%\centerline{\includegraphics[bb=0 0 249 296,width=6cm,height=7.13cm,keepaspectratio]{EinsteinTable.eps}}

Du legger nok merke til at aksene i figuren til Einstein mangler benevning, noe som ikke aksepteres i dag. 
På Einsteins tid, og også i lang tid senere, målte man varme i enheten kalorier. {\it Du skal finne sammenhengen 
mellom kalorier og Joule, som er den moderne enheten for varme, siden du vil trenge denne sammenhengen senere\/}. 
Den horisontale aksen i figuren tilsvarer $x$ i hans tabell, som altså er den dimensjonsløse enheten 
$T/\mathit\Theta_{\rm E}$. {\it En verdi i hans tabell er åpenbart feil, og den skal du finne og korrigere\/}.

{\itsf 1. Plott de eksperimentelle verdiene for $c_{Vm}$ mot T\/}. Ut i fra Einsteins tabell er det enkelt å finne 
hans verdi for $\mathit\Theta_{\rm E}$. La oss likevel anta at den tredje kolonnen i hans tabell ikke er tilgjengelig. 
{\it Anslå en omtrentlig verdi for $\mathit\Theta_{\rm E}$ og bruk ligning ~(\ref{eq:EinCv}) for å se på samsvaret 
mellom kalkulerte verdier og eksperimentelle data\/}. Ved bruk av prøve-og-feile-metoden vil du raskt komme frem til 
en verdi for $\mathit\Theta_{\rm E}$ som gir godt samsvar visuelt sett. Hvis du allerede vet hvordan du kan bruke 
Excel for kurvetilpasning, kan du bruke det, men for akkurat denne oppgaven er ikke det nødvendig. Et resultat fra KRN 
er gjengitt i figur~\ref{fig:spesifikkvarme.Figur2} og er et eksempel på hvordan denne oppgaven er løst. 
Vær oppmerksom på at man kan finne teoretiske verdier for alle mulige verdier av $T$, og at en glatt kurve bare kan 
oppnås ved å velge relativt mange temperaturer med liten avstand mellom hver verdi (noe som er enkelt hvis man bruker 
en datamaskin og f.eks. Excel).
\begin{figure}[htbp] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Teaching/TFY4165/Figure2.PNG
  \includegraphics[width=12cm]{Figur2.eps}
  %\includegraphics[width=12cm,height=9.29cm,keepaspectratio]{Figur2}
  \caption{\small\sf Data for spesifikk varmekapasitet i Tabell 3.1 (diamant; Einstein) er plottet mot temperaturen $T$. 
                     Du kan reprodusere den glatte teoretiske kurven ved å velge en egnet verdi for $\mathit\Theta_{\rm E}$.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur2}
\end{figure}

\subsection{Data for aluminium}
Nå skal vi ta for oss aluminium (symbol: Al). Vi starter med data fra Giauque og Meads, som målte den molare 
varmekapasiteten for Al fra 15 til 300 K. De brukte enheten cal$\cdot$deg$^{-1}$$\cdot$mol$^{-1}$, og deres 
eksperimentelle data finnes i tabell 3.2.

{\itsf 2. Konverter disse verdiene til moderne enheter, enten J $^\circ$C$^{-1}$ mol$^{-1}$ eller J K$^{-1}$ mol$^{-1}$, 
og gjør tilsvarende kurvetilpasning for disse dataene som du gjorde for diamant\/}. Du bør ende opp med en figur som 
ligner på den i figur~\ref{fig:spesifikkvarme.Figur3}. {\itsf På dette stadiet skal du gjøre ditt valg for verdien 
på $\mathit\Theta_{\rm E}$ for aluminium\/}.

Buyco og Davis presenterte et mer omfattende datasett over molar varmekapasitet for aluminium. Et utvalg av deres data, 
som dekker temperaturområdet 10 -- 900 K, er gjengitt i tabell 3.3 og plottet i figur~\ref{fig:spesifikkvarme.Figur4}. 
Dataene for varmekapasitet ble gitt i cal/(g K).

{\itsf 3. Du skal nå konvertere dataene til SI-enheter og gjøre tilsvarende kurvetilpasning som for diamant (og som 
for aluminium-dataene fra Giauque og Meads)\/}. Du vil se at uoverensstemmelsen ved høye temperaturer mellom 
eksperimentelle verdier og Einsteins teori ikke kan løses ved å velge andre verdier for $\mathit\Theta_{\rm E}$. 
{\itsf Hva kan være forklaringen på det?\/}.

%\vspace{-1cm}
\begin{figure}[!h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
%\vspace{-1cm}
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Teaching/TFY4165/Figur3.TIF
  \includegraphics[width=11cm]{Figur3.eps}
  %\includegraphics[bb=0 0 656 440,width=12cm,height=8.71cm,keepaspectratio]{Figur3}
  \caption{\small\sf Et plott av data fra tabell 3.2 (Al; Giauque og Meads). Du kan reprodusere den glatte teoretiske 
                     kurven ved å velge en egnet verdi for $\mathit\Theta_{\rm E}$.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur3}
\end{figure}

\begin{figure}[!h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Teaching/TFY4165/Figure4.PNG
  \includegraphics[width=12cm]{Figur4.eps}
  %\includegraphics[width=12cm,height=8.71cm,keepaspectratio]{Figur4}
  \caption{\small\sf Et plott av data fra tabell 3.3 (Al; Buyco og Davis). Du kan reprodusere den glatte teoretiske 
                     kurven ved å velge en egnet verdi for $\mathit\Theta_{\rm E}$.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur4}
\end{figure}

%
%\begin{figure}[tbp] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
%  \centering
%  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Figure4.TIF
%  \includegraphics[bb=0 0 656 440,width=10cm,height=6.71cm,keepaspectratio]{Figur4}
%  \caption{\small\sf Et plott av data fra tabell 3 (Al; Buyoko og Davis). Du kan reprodusere den glatte teoretiske kurven ved å velge en egnet verdi for $\Theta_{\rm E}$. }
%  \label{fig:Figur4}
%\end{figure}

\vspace{-5mm}

\subsection{Spesifikk varmekapasitet til en to-atomig gass}

Einsteins beskrivelse av et fast stoff er veldig lik (men ikke identisk med) dagens syn på en ideell gass av to-atomige 
molekyler. Vi vil forvente at et plott av $c_{Vm}$ mot $T$ for en slik gass ligner tilsvarende kurve for et fast stoff.  
Tabell 3.4 gir eksperimentelle verdier for $c_{pm}$ for F$_2$. {\it Konverter disse dataene til $c_{Vm}$ og lag et plott 
over $c_{Vm}$ mot $T$. Sammenlign med figur~\ref{fig:spesifikkvarme.Figur4} og kommenter likheter og ulikheter.\/}

{\itsfs Valgfri oppgave. En analyse av vibrasjonsspekteret til F$_2$ gir at energien, i spektroskopiske enheter
(dvs egentlig bølgetallet $k = 2\pi/\lambda$), til et vibrasjonskvant av et F$_2$-molekyl er 711 cm$^{-1}$ 
(ved bruk av tilnærming med 0.\ ordens enkel harmonisk oscillator)}. {\small\it Bruk denne informasjonen til å anslå 
verdier for $c_{Vm}$, og sammenlign dine verdier med de eksperimentelle resultatene.\/}

\section{Eksperimentelt}
%\setcounter{figure}{4}

Eksperimentet vi skal gjøre på laboratoriet er ganske enkelt. Det viktigste utstyret er ei elektronisk vekt, 
skissert i figur~\ref{fig:spesifikkvarme.Figur5}. En metallprøve, som ved starten av forsøket har en temperatur 
nær romtemperatur, senkes ned i flytende nitrogen, og mengden nitrogen som fordamper måles ved bruk av vekta. 
Denne mengden brukes så i en ligning for varmebalanse til å bestemme endringen i indre energi for metallprøven,
samt einsteintemperaturen.

\vspace{-5mm}
\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Balance.PNG
  \includegraphics[width=8.17cm]{Balance.eps}
  %\includegraphics[width=8.17cm,height=10cm,keepaspectratio]{Balance}
\vspace{-10mm}
  \caption{\small\sf Skisse av den elektroniske vekta som brukes i eksperimentet.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur5}
\end{figure}

\vspace{5mm}

M{\aa}l f{\o}rst vekta til metallpr{\o}ven. En liten bit med tråd skal være festet til metallprøven.

To isoporkopper stablet oppi hverandre brukes som en isolert beholder. Litt flytende nitrogen (ca 25 g) tømmes i 
beholderen, som så plasseres på vekta.

Vekta som n{\aa} vises vil gradvis avta som følge av fordamping av nitrogen. 
Noen målinger (4-5 stk) gjøres med jevne mellomrom for å bestemme vektreduksjonsraten som f{\o}lge
av tilf{\o}rt varme fra omgivelsene. Metallbiten senkes nå varsomt ned i beholderen ved at man holder i tråden. 
V{\ae}sken vil n{\aa} koke forholdsvis kraftig i noen sekunder.
Vent med å gjøre vektmålinger til kokingen har avtatt. 
Noter tidspunktet for n{\aa}r du putter metallbiten i det flytende nitrogenet, samt tidspunktet
n{\aa}r kokingen stopper.
Deretter skal en ny serie med måledata registreres, som beskrevet ovenfor, for å fastlegge
vektreduksjonsraten etter at metallbiten har kommet i termisk likevekt med det flytende nitrogenet. 
Vektreduksjonsraten er ikke n{\o}dvendigvis den samme f{\o}r og etter at metallbiten senkes i v{\ae}sken.
Fra de to måleseriene skal man 
bestemme $\Delta m$, som altså tilsvarer mengden nitrogen som har fordampet som følge av at metallbiten ble nedkjølt 
(og dermed ga fra seg varme til nitrogen) fra initiell temperatur $T_0$ (den m{\aa}lte romtemperaturen)
til slutt-temperaturen $T_f=77$ K.

La $L$ være den latente fordampingsvarmen til nitrogen. Varmen tatt opp av flytende nitrogen, $\Delta Q$, vil da være 
lik $L \Delta m$. Det er allerede forklart hvordan varmetapet til metallbiten kan beregnes (se over). Bruk energibalanse 
til å bestemme verdien av $\mathit\Theta_{\rm E}$ for aluminium. Siden $\Delta Q$ kan settes lik endringen i indre energi 
til metallbiten, kan vi bruke Einsteins modell:
\begin{equation}\label{eq:EinTemp}
\Delta Q =3nR[T_0\,{\cal E}(\mathit{\Theta_{\rm E}}/T_0)-T_f\,{\cal E}(\mathit{\Theta_{\rm E}}/T_f)],
\end{equation}
der $n$ er antall mol av prøven og
\begin{equation}
{\cal E}(y)=\frac{y}{\e^y - 1}.
\end{equation}
Du kan selv sjekke at ligning (2-8) gir resultatet (2-10) for endringen i energien til $3N$ (dvs $3n$ mol)
uavhengige oscillatorer, alle med samme frekvens $\nu = k_B \Theta_E/h$.

For å gjøre ting mer konkret, følger et eksempel. Noen reelle måledata er plottet i figur~\ref{fig:spesifikkvarme.Figur6}. 
Materialet var Al, med $n=0.21$ mol, og plottet antyder at $\Delta m = 3.76$ g. Merk at i dette konkrete
eksempelet var metallbiten i utgangspunktet plassert p{\aa} vekta ved siden av isoporkoppene med flytende nitrogen. 
Starttemperaturen $T_0$ var derfor ganske usikker, og antagelig noe mindre enn romtemperatur. (Vi anbefaler at
dere holder metallbiten ved romtemperatur helt til den skal senkes ned i nitrogenet.)

\begin{figure}[htbp] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Teaching/TFY4165/Figur6.TIF
  \includegraphics[width=12cm]{Figur6.eps}
  %\includegraphics[bb=0 0 562 374,width=12cm,height=7.99cm,keepaspectratio]{Figur6}
  \caption{\small\sf Figuren viser fordampingsraten til flytende nitrogen før (til venstre) og etter (til høyre) at 
                     metallprøven ble senket i beholderen.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur6}
\end{figure}

%Hvordan den tiden hvor du måle $\Delta m$ påvirke resultatet
%Hvordan det øyeblikket hvor du måle $\Delta m$ påvirke resultatet
%\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
%  \centering
%  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Figure6.PNG
%  \includegraphics[width=12.1cm,height=9cm,keepaspectratio]{Figure6}
%  \caption{\small\sf Figuren viser fordampingsraten til flytende nitrogen før (til venstre) og etter (til høyre) at metallprøven ble senket i beholderen.}
%  \label{fig:spesifikkvarme.Figur6}
%\end{figure}

{\it Du skal forberede et ark i Excel eller et MATLAB-skript for å tabulere og analysere måledataene i eksempelet over 
i henhold til ligning~(\ref{eq:EinTemp}).\footnote{Det samme arket (eller skriptet) skal du bruke for å analysere egne 
måledata fra eksperimentet.} } Bruk $L = 2.0 \times 10^5$ J/kg og beregn $\mathit{\Theta}_{\rm E}$. 
Er det i overensstemmelse med tilpasningen du gjorde for dataene til G\&M (da du brukte ligning~(\ref{eq:EinCv}))? 
Hvordan p{\aa}virker usikkerheten i starttemperaturen $T_0$ n{\o}yaktigheten i estimatet av $\Theta_E$? 
Hvordan vil valget av tidspunkt for m{\aa}ling av $\Delta m$ påvirke resultatet?

\subsection{Datainnsamling og analyse}

Gjør målinger som beskrevet over. Plott dataene dine for å se om de er som forventet; hvis ikke må du repetere eksperimentet.

\newpage
\section{Data over spesifikk varmekapasitet for aluminium}

\vspace*{1truecm}

\centerline{\includegraphics[width=11.8cm]{Tabell2.eps}}
%\centerline{\includegraphics[bb=0 0 412 728,width=11.8cm,height=20.9cm,keepaspectratio]{Tabell2.eps}}

\newpage

\vspace*{1truecm}

\centerline{\includegraphics[width=11.8cm]{Tabell3.eps}}
%\centerline{\includegraphics[bb=0 0 412 626,width=11.8cm,height=17.9cm,keepaspectratio]{Tabell3.eps}}

\newpage

\section{Spesifikk varmekapasitet for fluor}

\vspace*{1truecm}

\centerline{\includegraphics[width=11.8cm]{Tabell4.eps}}
%\centerline{\includegraphics[bb=0 0 412 458,width=11.8cm,height=13.1cm,keepaspectratio]{Tabell4.eps}}
%\renewcommand{\pagestyle}{empty}
\newpage
\section{Håndtering av vekta}

Å veie noe er en av de mest vanlige oppgavene i et laboratorium, en oppgave som er blitt vesentlig forenklet 
på grunn av teknologiske fremskritt. Likevel er det viktig å være oppmerksom på influerende faktorer og minimalisere disse.
Slike faktorer kan være fysiske endringer i prøven (f.eks. fordamping eller opptak av fuktighet) eller krefter som kan  
påvirke enten veieskåla eller prøven (magnetisme eller elektrostatiske krefter).

Still inn vekta ved å sørge for at luftbobla er i sentrum av nivåindikatoren. Bruk de justerbare føttene.

\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Booklet/leveling.jpg
  \includegraphics[width=3cm,height=3cm,keepaspectratio]{leveling.jpg}
  \caption{\small\sf Nivåindikator}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur7}
\end{figure}


\vspace*{1truecm}
\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Balance131.TIF
  \includegraphics[width=16cm]{Balance131c.eps}
  %\includegraphics[bb=0 0 901 635,width=16cm,height=11.3cm,keepaspectratio]{Balance131c.eps}
  \caption{\small\sf Instruksjon for å slå på/av vekta og hvordan foreta enkel måling.}
  \label{fig:spesifikkvarme.Figur8}
\end{figure}

%\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
%  \centering
%  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Balance131.TIF
%  \includegraphics[bb=0 0 901 635,width=12.8cm,height=11cm,keepaspectratio]{Balance131}
%  \caption{\small Instructions for On/Off switching and simple weighing}
%  \label{fig:Balance131}
%\end{figure}
\newpage

Hva menes med å tarere vekta? I følge en ordbok er det å ``oppveie vekten av en beholder el.lign. som noe skal veies i". 
På et kjemilaboratorium veier man ofte beholderen først og nullstiller så vekta med beholderen på.


\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
  \centering
  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Balance132.TIF
  \includegraphics[width=16cm]{Balance132c.eps}
  %\includegraphics[bb=0 0 901 635,width=16cm,height=11.3cm,keepaspectratio]{Balance132c.eps}
  \caption{\small\sf Hvordan tarere vekta.}
  \label{fig:Figur 8}
\end{figure}


%
%\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
%  \centering
%  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Balance132.TIF
%  \includegraphics[bb=0 0 901 635,width=12.8cm,height=11cm,keepaspectratio]{Balance132}
%  \caption{\small Instructions for taring. Dictionary meaning of the noun {\it tare\/}: `A counterweight used in chemical analysis to balance the weight of a container'. The verb `tare' means to `to ascertain, note, or allow for the tare of'.}
%  \label{fig:Balance132}
%\end{figure}

%
%\begin{figure}[h] % float placement: (h)ere, page (t)op, page (b)ottom, other (p)age
%  \centering
%  % file name: C:/MyFiles/Booklet/Balance133.TIF
%  \includegraphics[bb=0 0 901 635,width=12.8cm,height=11cm,keepaspectratio]{Balance133}
%  \caption{\small }
%  \label{fig:Balance133}
%\end{figure}


%Report
%1): http://www.baylor.edu/content/services/document.php/22374.pdf
%2): https://www.jyu.fi/fysiikka/en/studies/studentlab/report.html