\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  V{\aa}ren 2013.
\end{bf}

\vspace{0.5cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 1
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
{\bf Oppgave 1} \\

$a)$ Endring i trykket, $\Delta p$, ved en liten endring i temperaturen, $\Delta T$, er ved
konstant volum $V$ gitt ved
$$\Delta p = \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V \, \Delta T.$$
For {\aa} bestemme den deriverte benytter vi sammenhengen
$$-1 = \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V
\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T
\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_p
= \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V
\left( -V \kappa_T \right) \left( \frac{1}{V\alpha} \right),$$
der vi har brukt at $\kappa_T = -(\partial V/\partial p)_T/V$ og
$\alpha = (\partial V/\partial T)_p/V = (\partial T/\partial V)_p^{-1}$.
For hver grad temperaturstigning blir dermed trykk{\o}kningen
$$\Delta p = \frac{\alpha}{\kappa_T}\,\Delta T =
\frac{48.5\cdot10^{-6}}{7.7\cdot10^{-12}}\cdot 1 \, {\rm Pa} =
6.3\cdot10^6 \, {\rm Pa} \simeq 62 \, {\rm atm}.$$

\vspace{0.5cm}
$b)$ Vi deriverer p{\aa} begge sider og finner
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\partial \alpha}{\partial p} \right)_T &=&
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial T} \right)=
\frac{1}{V}\frac{\partial^2 V}{\partial p \partial T} -
\frac{1}{V^2}\frac{\partial V}{\partial p} \frac{\partial V}{\partial T} \\
-\left( \frac{\partial \kappa_T}{\partial T} \right)_p &=&
\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial p} \right)=
\frac{1}{V}\frac{\partial^2 V}{\partial T \partial p} -
\frac{1}{V^2}\frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial V}{\partial p} 
\end{eqnarray*}
F{\o}lgelig er
$$\left( \frac{\partial \alpha}{\partial p} \right)_T =
-\left( \frac{\partial \kappa_T}{\partial T} \right)_p.$$

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 2} \\

$a)$ Trykket i 1 mol ideell gass ved 20$^\circ$C og volum 24.0 L:
$$p = \frac{RT}{V} = \frac{8.314 \cdot 293}{24.0\cdot10^{-3}}\, {\rm Pa} =
1.015\cdot10^5\, {\rm Pa} = 1 \, {\rm atm}.$$
Ved samme temperatur men med volum 0.24 L blir trykket
$$p = \frac{RT}{V} = \frac{8.314 \cdot 293}{0.24\cdot10^{-3}}\, {\rm Pa} =
1.015\cdot10^7\, {\rm Pa} = 100 \, {\rm atm}.$$

\vspace{0.5cm}
$b)$ Med van der Waals tilstandsligning ved 20$^\circ$C og 1 mol luft i et volum 24.0 L:
$$p = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2} =
\frac{8.314\cdot293}{(24.0-0.0367)\cdot10^{-3}}\,{\rm Pa} -
\frac{1.368\cdot10^{5-6}}{(24.0\cdot10^{-3})^2}\,{\rm Pa} =
1.014\cdot10^5\, {\rm Pa} = 1 \, {\rm atm}.$$
Med volum 0.24 L finner vi tilsvarende
$$p = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2} =
\frac{8.314\cdot293}{(0.24-0.0367)\cdot10^{-3}}\,{\rm Pa} -
\frac{1.368\cdot10^{5-6}}{(0.24\cdot10^{-3})^2}\,{\rm Pa} =
0.961\cdot10^7\, {\rm Pa} = 96 \, {\rm atm}.$$
(Sammenheng mellom noen ulike enheter for trykk: 1 atm = $1.013\cdot10^5$ Pa = 760 mmHg.)

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 3} \\

Mottatt varme i tidsrommet $dt$:
$$dQ = P\,dt = C_p\,dT.$$
Dette gir varmekapasiteten
$$C_p = \frac{dQ}{dT} = P \, \frac{dt}{dT} = \frac{P}{dT(t)/dt}.$$
Vi deriverer den oppgitte $T(t)$ og finner
$$\frac{dT}{dt} = T_0 \, \frac{a}{4[1 + a(t-t_0)]^{3/4}} = T_0 \frac{a}{4}
\left(\frac{T_0}{T} \right)^3,$$
dvs
$$C_p = \frac{4P}{a T_0} \left( \frac{T}{T_0} \right)^3.$$
(Dette resultatet, $C_p \sim T^3$, er typisk temperaturavhengighet for
vamekapasiteten til faste stoffer ved lave temperaturer.)

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 4} \\

Med utgangspunkt i eksemplet gitt i oppgaveteksten er veien ikke lang til
f{\o}lgende kode i Matlab/Octave:

\begin{verbatim}
%%FY1005/TFY4165 vaaren 2012, Oving 1, Oppgave 4, del 1
%%
%%R = gasskonstanten = 8.314 J/mol*K
R=8.314;
%%T = absolutt temperatur (K)
Tmin=113;
Tmax=293;
DeltaT=20;
%%T = vektor med verdier mellom Tmin og Tmax, intervall DeltaT
T=Tmin:DeltaT:Tmax;
%%V = molart volum (L/mol)
Vmin=0.05;
Vmax=1.0;
NV=500;
%%V = vektor med verdier mellom Vmin og Vmax, i alt NV verdier
V=linspace(Vmin,Vmax,NV);
%%Verdier for a og b for luft: 1.368  0.0367
%%Enheter: [a] = bar*(L/mol)^2 og [b] = L/mol
a=1.368;
b=0.0367;
%%length(T) = antall elementer i vektoren T
%%Bruker for-loekke fra i=1 til i=length(T) til aa regne ut van der Waals
%%isotermer p(V) for temperaturer T(1), T(2), ... , T(length(T))
for i = 1:length(T);
    %%p = trykket. Faktoren 1/100 skyldes at V og b har enhet L og at
    %%p oenskes i enheten bar (1 bar = 10^5 Pa)
    p = (R*T(i)./(V-b))/100 - a./(V.*V);
    fig = plot(V,p);
    %%p(V) for laveste valgte temperatur T(1): blaa kurve
    %%p(V) for hoeyeste valgte temperatur T(length(T)): roed kurve
    %%Mellomliggende kurver: gradvis mellom blaa og roed
    %%Tynne kurver, LineWidth = 1.0, for van der Waals tilstandsligning
    red=(i-1)/(length(T)-1);
    blue=1-red;
    green = 0.0;
    set(fig,'Color',[red green blue],'LineWidth',1.0);
    if i == 1;
        title('Isotermer: van der Waals og ideell gass tilstandsligning','fontsize',18);
        xlabel('Molart volum (L/mol)','fontsize',18);
        ylabel('Trykk (bar)','fontsize',18);
        axis([0 Vmax 0 140]);
        %%"hold on" soerger for at paafoelgende kurver tegnes i samme figur
        hold on;
        %%Vi plotter p(V) for ideell gass for laveste
        %%verdi av temperaturen, dvs for T(1)
        pideell = R*T(i)./(100*V);
        fig = plot(V,pideell);
        %%Tykk blaa kurve for p(V) ved T(1), ideell gass
        set(fig,'LineWidth',1.5,'Color',[0 0 1]);
    end;
    if i == length(T);
        %%Vi plotter p(V) for ideell gass for hoeyeste
        %%verdi av temperaturen, dvs for T(length(T))
        pideell = R*T(i)./(100*V);
        fig = plot(V,pideell);
        %%Tykk roed kurve for p(V) ved T(length(T)), ideell gass
        set(fig,'LineWidth',1.5,'Color',[1 0 0]);
    end;    
end;
hold off;
\end{verbatim}

\noindent
Med denne koden f{\aa}r vi en figur som ser slik ut:

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=7.5in \epsfbox{vdw1.eps}}
\vspace{0.7cm}
%%END FIGURE
\caption{Isotermer for van der Waals tilstandsligning (tynne kurver) og for ideell gass (tykke kurver).
Temperaturer, van der Waals: 113, 133, 153, 173, 193, 213, 233, 253, 273, 293 K. Temperaturer, ideell gass:
113, 293 K.}
\end{figure}

\newpage
\noindent
\textbf{Kommentarer:}

\noindent
P{\aa} \textbf{linjene 27 og 46} bruker vi elementvise operasjoner, som er innebygd i Matlab. Det
gj{\o}res ved {\aa} skrive et punktum foran den operasjonen vi {\o}nsker. Slik kan vi
behandle en hel vektor i ett og samme uttrykk, og dette kj{\o}rer \textbf{mye}
raskere enn en for-l{\o}kke.

\noindent
P{\aa} \textbf{linjene 33-36} gis de ulike isotermene farger fra bl{\aa}tt til r{\o}dt.

\noindent
P{\aa} \textbf{linjene 38-43} s{\o}rger vi for {\aa} lage tittel og aksetekst, definere aksene, samt
passe p{\aa} {\aa} bruke \verb!hold on! dersom det er det f{\o}rste plottet. 

\noindent
I oppgave 2a fant vi at antagelsen om ideell gass gav et trykk p{\aa} 101,5\,bar ved 293\,K og et molart
volum 0.24\,l. I oppgave 2b fant vi at med van der Waals
tilstandsligning f{\aa}r vi et trykk p{\aa} 96,1\,bar ved tilsvarende temperatur og molart volum. 
Vi ser fra figuren ovenfor at kurvene ved 293 K er konsistente med disse verdiene. \\

\noindent
For del to av oppgaven kan vi bruke samme program, bortsett fra at tallverdier m{\aa} endres for
Tmin, Tmax, DeltaT, Vmax, samt {\o}vre grense for trykket i figuren (70 bar istedenfor 140 bar):

\begin{verbatim}
%%FY1005/TFY4165, Oving 1, Oppgave 4, del 2
%%
%%R = gasskonstanten = 8.314 J/mol*K
R=8.314;
%%T = absolutt temperatur (K)
Tmin=113;
Tmax=158;
DeltaT=5;
%%T = vektor med verdier mellom Tmin og Tmax, intervall DeltaT
T=Tmin:DeltaT:Tmax;
%%V = molart volum (L/mol)
Vmin=0.05;
Vmax=0.5;
NV=500;
%%V = vektor med verdier mellom Vmin og Vmax, i alt NV verdier
V=linspace(Vmin,Vmax,NV);
%%Verdier for a og b for luft: 1.368  0.0367
%%Enheter: [a] = bar*(L/mol)^2 og [b] = L/mol
a=1.368;
b=0.0367;
%%length(T) = antall elementer i vektoren T
%%Bruker for-loekke fra i=1 til i=length(T) til aa regne ut van der Waals
%%isotermer p(V) for temperaturer T(1), T(2), ... , T(length(T))
figure;
for i = 1:length(T);
    %%p = trykket. Faktoren 1/100 skyldes at V og b har enhet L og at
    %%p oenskes i enheten bar (1 bar = 10^5 Pa)
    p = (R*T(i)./(V-b))/100 - a./(V.*V);
    fig = plot(V,p);
    %%p(V) for laveste valgte temperatur T(1): blaa kurve
    %%p(V) for hoeyeste valgte temperatur T(length(T)): roed kurve
    %%Mellomliggende kurver: gradvis mellom blaa og roed
    %%Tynne kurver, LineWidth = 1.0, for van der Waals tilstandsligning
    red=(i-1)/(length(T)-1);
    blue=1-red;
    green = 0.0;
    set(fig,'Color',[red green blue],'LineWidth',1.0);
    title('Isotermer: van der Waals og ideell gass tilstandsligning','fontsize',18);
    xlabel('Molart volum (L/mol)','fontsize',18);
    ylabel('Trykk (bar)','fontsize',18);
    axis([0 Vmax 0 70]);
    if i == 1;
        %%"hold on" soerger for at paafoelgende kurver tegnes i samme figur
        hold on;
        %%Vi plotter p(V) for ideell gass for laveste
        %%verdi av temperaturen, dvs for T(1)
        pideell = R*T(i)./(100*V);
        fig = plot(V,pideell);
        %%Tykk blaa kurve for p(V) ved T(1), ideell gass
        set(fig,'LineWidth',1.5,'Color',[0 0 1]);
    end;
    if i == length(T);
        %%Vi plotter p(V) for ideell gass for hoeyeste
        %%verdi av temperaturen, dvs for T(length(T))
        pideell = R*T(i)./(100*V);
        fig = plot(V,pideell);
        %%Tykk roed kurve for p(V) ved T(length(T)), ideell gass
        set(fig,'LineWidth',1.5,'Color',[1 0 0]);
    end;    
end;
hold off;
\end{verbatim}

\noindent
Resulterende figur med isotermer blir som i Figur 2 (nedenfor). Som nevnt i oppgaveteksten, legg
merke til overgangen fra monotont avtagende kurver til ikke-monotone kurver for $p(V)$ n{\aa}r
temperaturen senkes under ca 133 K (kurve nr 5). Vi kommer tilbake til hva dette inneb{\ae}rer.

\begin{figure}[!h]
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=7.5in \epsfbox{vdw2.eps}}
\vspace{0.7cm}
%%END FIGURE
\caption{Isotermer for van der Waals tilstandsligning (tynne kurver) og for ideell gass (tykke kurver).
Temperaturer, van der Waals: 113, 118, 123, 128, 133, 138, 143, 148, 153, 158 K. Temperaturer, ideell gass:
113, 158 K.}
\end{figure}

\end{document}