\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{hyperref}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.4cm}

\begin{large}
{\O}ving 1
\end{large}

\end{center}

\vspace{0.3cm}
{\bf Atmosf{\ae}ren p{\aa} Mars} \\

{\bf Oppgave 1} \\

Temperaturm{\aa}linger i
atmosf{\ae}ren p{\aa} planeten Mars kan med god tiln{\ae}rmelse beskrives med funksjonen
$$T(z) = 234.0 - 2.25\,z + 14\, e^{-2z}.$$
Her er $z$ h{\o}yde over bakkeniv{\aa}, m{\aa}lt i enheten km, og $T$ er absolutt temperatur.
Oppgaven best{\aa}r i {\aa} beregne trykkprofilen $p(z)$ med utgangspunkt i
temperaturprofilen $T(z)$. \\

$a)$ Tyngden av en lufts{\o}yle mellom $z$ og $z+dz$ medf{\o}rer at trykket $p(z)$
varierer med h{\o}yden, i henhold til hvilken ligning? \\
A) $dp/dz = \mu/g$ \hspace{5mm}
B) $dp/dz = -\mu/g$ \hspace{5mm}
C) $dp/dz = \mu g$ \\
D) $dp/dz = -\mu g$ \hspace{5mm}
E) $dp/dz = g/\mu$ \hspace{5mm}
F) $dp/dz = -g/\mu$ \\
Her er $\mu$ (den lokale) massetettheten, og $g$ er tyngdens akselerasjon. \\

$b)$ Anta at atmosf{\ae}ren p{\aa} Mars kan betraktes som en ideell gass.
Hva er da riktig uttrykk for massetettheten $\mu(z)$? \\
A) $\mu(z) = Rp(z)/mT(z)$ \hspace{5mm}
B) $\mu(z) = RT(z)/mp(z)$ \hspace{5mm}
C) $\mu(z) = p(z)m/RT(z)$ \\
D) $\mu(z) = p(z)/mRT(z)$ \hspace{5mm}
E) $\mu(z) = T(z)mR/p(z)$ \hspace{5mm}
F) $\mu(z) = p(z)T(z)/mR$ \\
Her er $m$ atmosf{\ae}rens midlere molare masse, en st{\o}rrelse som vi skal
anta er uavhengig av hvor i atmosf{\ae}ren vi befinner oss. \\

$c)$ Anta n{\aa} at trykket p{\aa} bakkeniv{\aa}, $p_0 = p(0)$, er kjent.
Da har trykket i h{\o}yde $z$ over bakkeniv{\aa} avtatt til verdien
$$p(z) = p_0 \, \exp\left[-\int_0^z \frac{dz'}{H(z')}\right].$$
Hva er riktig uttrykk for skalah{\o}yden $H(z)$? \\
A) $H(z) = RT(z)/mg(z)$ \hspace{5mm}
B) $H(z) = mT(z)/Rg(z)$ \hspace{5mm}
C) $H(z) = RT(z)m/g(z)$ \\
D) $H(z) = R/T(z)mg(z)$ \hspace{5mm}
E) $H(z) = Rg(z)/mT(z)$ \hspace{5mm}
F) $H(z) = mg(z)/RT(z)$ \\

[Tyngdens akselerasjon $g$ vil som kjent variere med avstanden fra planetens
sentrum (og dermed med h{\o}yden $z$), men atmosf{\ae}ren p{\aa} Mars er i all
hovedsak lokalisert innenfor h{\o}ydeverdier (15 -- 20 km) som gj{\o}r det
til en utmerket tiln{\ae}rmelse {\aa} regne med konstant verdi $g = 3.71$ m/s$^2$.] \\

$d)$ Dersom temperaturen $T$ kunne regnes som konstant og lik 234 K, hva ville da
skalah{\o}yden $H$ v{\ae}re p{\aa} Mars, der midlere molare masse er $m = 43.34$ g/mol? \\
A) 10.1 km  \hspace{5mm}
B) 12.1 km  \hspace{5mm}
C) 14.1 km  \hspace{5mm}
D) 16.1 km  \hspace{5mm}
E) 18.1 km  \hspace{5mm}
F) 20.1 km  \\

$e)$ Med hvilken tallfaktor ville i s{\aa}fall trykket v{\ae}re
redusert i h{\o}yden $z=H$, relativt trykket p{\aa} bakkeniv{\aa}? \\
A) $1/\pi$ \hspace{5mm}
B) $1/3$ \hspace{5mm}
C) $1/4$ \hspace{5mm}
D) $1/5$ \hspace{5mm}
E) $1/6$ \hspace{5mm}
F) $1/e$ \\

\newpage

{\bf Oppgave 2} \\

Med h{\o}ydeavhengig temperatur $T(z)$ (som nevnt innledningsvis) er det
(med all sannsynlighet) ikke mulig {\aa} l{\o}se integralet i punkt $c)$ analytisk.
L{\o}s integralet numerisk, og beregn p{\aa} den m{\aa}ten trykkprofilen $p(z)$
fra bakkeniv{\aa} og opp til en h{\o}yde 16 km. Bruk en metode for numerisk
integrasjon som du har l{\ae}rt tidligere (f.eks.\ midtpunktmetoden, trapesmetoden
eller Simpsons metode; se evt wikipedia, andre nettsider, en bok, eller be
om hjelp p{\aa} {\o}vingstimen), og bruk ditt favoritt--programmeringsspr{\aa}k,
noe som for de fleste antagelig er Python. Hovedresultatet skal v{\ae}re
en figur der $p$ er plottet som funksjon av $z$, med angivelse av b{\aa}de
fysisk st{\o}rrelse og enhet langs begge akser.
Verdien av trykket p{\aa} bakkeniv{\aa} kan du sette lik 600 Pa. \\

Utvid programmet ditt til ogs{\aa} {\aa} beregne $p(z)$ med antagelsen at
temperaturen er konstant og lik 234 K. Plott den resulterende trykkprofilen
i samme figur som trykkprofilen beregnet med varierende temperatur. \\

\end{document}



\vspace{1.0cm}
{\bf Ekstra utfordring: Atmosf{\ae}ren p{\aa} jorda} \\

Bruk internett (eller andre kilder) til {\aa} finne en p{\aa}litelig
utgave av temperaturprofilen $T(z)$ i jordas atmosf{\ae}re.
Fors{\o}k deretter {\aa} konstruere en matematisk funksjon som
reproduserer den m{\aa}lte $T(z)$ p{\aa} en noenlunde brukbar m{\aa}te.
Modifiser s{\aa} programmet fra forrige oppgave slik at dette beregner
trykkprofilen $p(z)$ i jordas atmosf{\ae}re. Bruk internett (eller 
andre kilder) til {\aa} finne resultater som du kan sammenligne din
beregnede trykkprofil med.

\end{document}