\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

Veiledning: 17.\ og 20.\ mars. Innleveringsfrist: Fredag 21.\ mars kl 16.

\vspace{1.0cm}

\begin{large}
{\O}ving 10
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
{\bf Van der Waals tilstandsligning} \\

$a)$ Van der Waals tilstandsligning for stoffmengden 1 mol,
$$(p + a/V^2) (V-b) = RT,$$
gir kritisk punkt
$$T_c = 8a/27Rb \;\;\; , \;\;\; p_c = a/27b^2 \;\;\; , \;\;\; V_c = 3b.$$
Vis at $a$ og $b$ -- dersom vi velger {\aa} parametrisere med utgangspunkt i kritisk temperatur
og trykk -- kan uttrykkes som
$$a = 27 R^2 T_c^2/64 p_c \;\;\; , \;\;\; b = R T_c/8 p_c.$$
Vis ogs{\aa} at dette gir verdien $8/3$ for kombinasjonen $RT_c/p_c V_c$. \\


\vspace{0.2cm}
$b)$ Vis at dersom vi innf{\o}rer dimensjonsl{\o}se (''reduserte'') st{\o}rrelser $p_r = p/p_c$, $T_r = T/T_c$
og $V_r = V/V_c$, kan van der Waals tilstandsligning skrives p{\aa} formen
$$(p_r + 3/V_r^2)(3V_r - 1) = 8T_r.$$
[Dette kalles gjerne ''loven om korresponderende tilstander'' (van der Waals, 1880): Ulike stoffer som 
oppfyller van der Waals tilstandsligning, er i korresponderende tilstander dersom de har samme trykk, temperatur
og volum, m{\aa}lt i enheter av kritisk trykk, temperatur og volum.] \\


\vspace{0.2cm}
$c)$ Kj{\o}lemediet R134a (1,1,1,2--tetrafluoretan; benyttet i varmepumpa i laboppgave 1) 
har kritisk temperatur, trykk og (molart) volum henholdsvis 374 K, 4060 kPa og 0.198 L. 
Bruk disse eksperimentelle verdiene til {\aa} parametrisere koeffisientene $a$ og $b$ for R134a, 
som beskrevet i punkt $a)$. Hva er den eksperimentelle verdien for $RT_c/p_c V_c$ for R134a?
[Gasskonstanten er $R = 8.314$ J/mol\,K.] \\


\vspace{0.2cm}
$d)$ Plott (van der Waals) isotermer for (1 mol av) R134a i et $(p,V)$-diagram. 

\noindent
Lag f{\o}rst en figur der isotermer tegnes opp for temperaturer mellom 334 og 414 K, med intervall 20 K
mellom p{\aa}f{\o}lgende kurver. Beregn $p(V)$ for $V$ mellom 0.12 og 2.00 L, mens kurvene plottes
i et diagram der $V$-aksen g{\aa}r fra 0 til 1 L og $p$-aksen fra 0 til 10 MPa. Tegn ogs{\aa}, i samme figur, 
isotermer basert p{\aa} ideell gass tilstandsligning for laveste og h{\o}yeste temperatur, dvs 334 og 414 K. \\

Legg merke til overgangen fra monotont avtagende kurver til ikke-monotone $p(V)$ ved $T = 374$ K. \\

For Matlabtips, se matlabtips10.pdf. \\


\newpage
$e)$ For temperaturer $T$ under kritisk temperatur $T_c$ gir van der Waals tilstandsligning
koeksistens mellom v{\ae}ske og gass for en bestemt verdi av trykket, $p_{\rm co}$, der det s{\aa}kalte
koeksistenstrykket $p_{\rm co}$ fastlegges ved hjelp av Maxwells regel om like arealer, dvs like stort gult (lyst)
som bl{\aa}tt (m{\o}rkt) areal i figuren under, alternativt den ekvivalente betingelsen
$$p_{\rm co} \cdot \left( V_g - V_v \right) = \int_{V_v}^{V_g} p(V)\,dV,$$
der $V_v$ og $V_g$ er hhv (molart) v{\ae}skevolum og gassvolum.

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=4.2in \epsfbox{like_arealer.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\noindent
Bruk Maxwells regel om like arealer til {\aa} fastlegge koeksistenstrykket $p_{\rm co}$, 
med en n{\o}yaktighet p{\aa} 0.1 kPa, for temperaturen $T = 331$ K. Dette tilsvarer ''typisk
temperatur ved utgang kompressor'' ($T_2$) i laboppgave 1, se Tabell 1.1 side 9 i Labheftet.
I labfors{\o}ket er trykket der ca 10.5 bar, betydelig mindre enn $p_{\rm co}$, slik at
kj{\o}lemediet er i gassform.


\end{document}