\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}

\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

Veiledning: 31.\ mars og 3.\ april. Innleveringsfrist: Fredag 4.\ april kl 16.

\vspace{0.2cm}

\begin{large}
{\O}ving 12
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.1cm}
{\bf Oppgave 1. Varmeskjold} \\

En svart overflate som holdes p{\aa} konstant (h{\o}y) temperatur $T_N$ er parallell med en annen svart overflate 
med konstant temperatur $T_0$. Det er vakuum mellom platene.

For {\aa} redusere varmestr{\o}mmen p{\aa} grunn av str{\aa}ling innf{\o}res et varmeskjold som best{\aa}r av 
$N-1$ parallelle svarte plan som plasseres mellom den kalde og varme overflaten. Etter en stund oppn{\aa}s 
stasjon{\ae}re forhold.

Beregn hvilken reduksjon av energistr{\o}mmen mellom overflatene $T_N$ og $T_0$ varmeskjoldet gir. 

({\small Svar: $1/N$}) \\

{\bf Oppgave 2. Kokte poteter} \\

Poteter av en viss st{\o}rrelse trenger 25 minutter for {\aa} koke ferdig. Anta at poteter er kokt ferdig 
n{\aa}r temperaturen i midten overstiger en viss verdi. Hvor lang tid trengs da for {\aa} koke ferdig 
poteter av samme type og samme form, men som er dobbelt s{\aa} tunge?

({\small Svar: 40 min}) \\

 
{\bf Oppgave 3. Fjernvarmeanlegg} \\

P{\aa} Tiller produseres varme ved forbrenning av avfall. {\AA}rlig energiproduksjon er 600 GWh.
Varmen distribueres til kunder i Trondheim og Kl{\ae}bu ved hjelp av varmt vann som str{\o}mmer
gjennom isoporisolerte r{\o}r. R{\o}rene ligger stort sett under bakken men g{\aa}r {\aa}pent
under Elges{\ae}ter bro:

%%FIGURE
\centerline{
\epsfxsize=2.5in \epsfbox{fjernvarme1.eps}
\hspace{9mm}
\epsfxsize=2.5in \epsfbox{fjernvarme5.eps}
}
%%FIGURE

$a)$ Hvor stor (gjennomsnittlig) effekt leverer fjernvarmeanlegget? Dersom den produserte varmen
benyttes til {\aa} heve temperaturen i vann fra 15 til 95$^\circ$C, hvor mye vann kan da passere
gjennom anlegget p{\aa} Tiller pr tidsenhet? (Varmekapasiteten til vann er $c = 1$ cal/g K, dvs 4184 J/kg K.)
Anta at dette vannet sirkulerer i to hovedsl{\o}yfer, en til Trondheim og en til Kl{\ae}bu,
begge med sirkul{\ae}re r{\o}r med (indre) diameter $d_2 = 25$ cm. Vis at str{\o}mningshastigheten da
er begrenset til (ca) $v = 2$ m/s. \\

$b)$ Anta at r{\o}rene er isolert med et 5 cm tykt isoporlag, slik at ytre diameter er $d_1 = 35$ cm. Vis
at varme avgitt pr tidsenhet, og pr lengdeenhet av r{\o}ret, i avstand $z$ fra fjernvarmeanlegget, er gitt ved
$$j(z) = \frac{dQ/dt}{L} = \frac{2\pi\kappa [T(z)-T_0]}{\ln(d_1/d_2)}.$$
Her er $\kappa = 0.035$ W/m K varmeledningsevnen til isopor, $T_0$ er temperaturen i bakken omkring
r{\o}ret (antatt konstant), og $T(z)$ er vannets temperatur i avstand $z$ fra anlegget. (Vi antar for
enkelhets skyld at temperaturen er konstant over det indre r{\o}rets tverrsnitt.) \\

$c)$ P{\aa} grunn av varmetapet vil temperaturen i vannet falle. ''Stasjon{\ae}re forhold'' betyr her
konstant temperatur $T(z)$ i en gitt avstand $z$ fra anlegget. F{\o}lger vi en gitt vannmengde, derimot,
avtar temperaturen med tiden $t$. Kjenner vi vannets hastighet $v = dz/dt$, kan $T(t)$ for en gitt
vannmengde enkelt ''oversettes'' til den stasjon{\ae}re $T(z)$. Vis at $j(z)$ kan skrives som
$$j(z) = - \frac{1}{4}\,c\rho\pi d_2^2 v \, \frac{dT}{dz}.$$
Her er $\rho = 10^3$ kg/m$^3$ massetettheten til vann, og andre st{\o}rrelser er definert tidligere. \\

$d)$ Kombineres de to uttrykkene for $j(z)$, blir resultatet en differensialligning for $T(z)$, med
l{\o}sning
$$T(z) = T_0 + [T(0)-T_0]\,e^{-\beta z}.$$
Vis dette, og vis dermed at 
$$\beta = \frac{8\kappa}{c\rho d_2^2 v \ln(d_1/d_2)}.$$

\vspace{3mm}
$e)$ Anta at temperaturen nede i bakken ikke blir lavere enn $T_0 = 0^\circ$C. Anta videre at
temperaturen i vannet ikke skal falle med mer enn $5^\circ$C over en avstand $z = 10$ km. Hvor
stor m{\aa} da str{\o}mningshastigheten $v$ minst v{\ae}re? \\


{\bf Oppgave 4. Flervalgsoppgaver} \\

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{3mm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{fig34.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
''Systemet'' i varmepumpa (evt kj{\o}leskapet) til venstre er et ''kj{\o}lefluid''
som sirkulerer i r{\o}rsystemet og veksler mellom {\aa} v{\ae}re i v{\ae}skeform
og gassform. Varmereservoarene er angitt med temperaturene $T_1$ (kaldt) og
$T_2 > T_1$ (varmt). Oppgavene a og b er knyttet til denne figuren.
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$a)$ Hvor avgir og/eller mottar systemet varme fra omgivelsene? \\

A) Avgir ved $T_2$ og mottar ved $T_1$. \hspace{15mm}
B) Avgir ved $T_2$ og avgir ved $T_1$.

\vspace{2mm}
C) Mottar ved $T_2$ og mottar ved $T_1$. \hspace{15mm}
D) Mottar ved $T_2$ og avgir ved $T_1$.

\newpage

\vspace{3mm}
\hrule
\vspace{3mm}
$b)$ Ranger temperaturene $T_1$, $T_2$, $T_4$ og $T_6$.
(Du kan anta at $T_3 \simeq T_1$ og at $T_5 \simeq T_2$.) \\

A) $T_1 > T_2 > T_4 > T_6$ \hspace{15mm}
B) $T_6 > T_4 > T_2 > T_1$

\vspace{2mm}
C) $T_2 > T_1 > T_6 > T_4$ \hspace{15mm}
D) $T_4 > T_2 > T_1 > T_6$ 


\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.9in \epsfbox{fig43.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.60\textwidth}
$c)$ Et system kan bringes reversibelt fra tilstand A til tilstand B p{\aa}
to ulike m{\aa}ter: Ved hjelp av en kombinasjon av en isobar og en isokor
prosess (1) eller via en isoterm prosess (2). Systemets entropiendring er
$S_1$ for prosess 1 og $S_2$ for prosess 2. Da er \\

A) $S_1 = S_2$

B) $S_1 > S_2$

C) $S_1 < S_2$

D) det ikke mulig {\aa} uttale seg om $S_1$ i forhold til $S_2$.
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$d)$ To mol ideell gass er innestengt i en varmeisolert beholder med volum 10 L.
En vegg fjernes hurtig, slik at gassen utvider seg isotermt
(og irreversibelt), til et volum 25 L. Hva blir endringen $\Delta S$ i gassens entropi? 

(Oppgitt: Isoterm entropiendring er $dS = (\partial p/\partial T)_V \,dV$) \\

A) $\Delta S = 15.2$ J/K  \hspace{23mm}
B) $\Delta S = 0.3$ J/K

\vspace{2mm}
C) $\Delta S = -0.6$ J/K  \hspace{20mm}
D) $\Delta S = 44$ J/K

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$e)$ Planeten Mars har en atmosf{\ae}re som gir et gjennomsnittlig trykk ved
overflaten p{\aa} beskjedne 600 Pa, like i underkant av damptrykket ved vannets
trippelpunkt. Hvor ville du da kunne ha h{\aa}p om {\aa} finne vann i flytende
form (dvs v{\ae}skefase) p{\aa} planeten Mars? \\

A) I dype kratere.  \hspace{10mm}
B) P{\aa} h{\o}ye fjell. \hspace{10mm}
C) Overalt. \hspace{10mm}
D) Ingen steder.

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$f)$ Mandag morgen var det stille klarv{\ae}r og omkring null grader. Naboens bil
stod parkert ganske tett inntil sideveggen p{\aa} v{\aa}r garasje, og jeg observerte
med interesse at bilrutene som vendte mot garasjeveggen var praktisk talt uten
rim og is. Rutene p{\aa} de resterende tre sidene m{\aa}tte naboen belage seg p{\aa}
{\aa} skrape f{\o}r avreise til jobb. Hvordan vil du forklare at bilens ene side
hadde rimfrie ruter? \\


A) Garasjeveggen har h{\o}yere temperatur enn den klare nattehimmelens effektive temperatur. 

B) Luftas partialtrykk av vanndamp m{\aa} ha ligget et sted mellom metningstrykket ved
null grader og metningstrykket ved temperaturen til de isdekte rutene.

C) Forklaringen involverer bruk av Clapeyrons ligning.

D) B{\aa}de A, B og C inng{\aa}r i en fullgod forklaring.

\vspace{5mm}
\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=4.4in \epsfbox{fig49.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
$g)$ En vegg mellom ei stue og et soverom har 15 mm tykke gipsplater p{\aa} begge sider
av et 75 mm tykt lag med glassvatt (''glava''). Gipsplater isolerer godt mot {\em lyd}
og hemmer spredning av brann, men isolerer {\em d{\aa}rlig} mot varmeledning:
$\kappa_{\rm gips} = 0.25$ W/m K, mens $\kappa_{\rm glava} = 0.035$ W/m K. Hvilken kurve
viser da korrekt temperaturprofil gjennom veggen ved stasjon{\ae}re (dvs tidsuavhengige)
forhold og stuetemperatur (for $x < 0$) og soveromstemperatur 
(for $x > 105$ mm) hhv 22$^\circ$C og 12$^\circ$C? \\
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{fig50.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
$h)$ To (tiln{\ae}rmet uendelig) store parallelle metallplater holdes p{\aa} fast temperatur
hhv 300 K og 1500 K. (Disse platene kan med andre ord betraktes som to varmereservoarer.)
En tredje metallplate settes inn mellom disse, som vist i figuren.
Alle platene kan betraktes som perfekt svarte legemer som emitterer elektromagnetisk
str{\aa}ling (''varmestr{\aa}ling'') i begge retninger. Det er vakuum i rommet mellom
platene. N{\aa}r stasjon{\ae}re (dvs tidsuavhengige) forhold er etablert, hva er
temperaturen p{\aa} den midterste platen? \\

A) 612 K \hspace{9mm}
B) 900 K \hspace{9mm}
C) 1262 K \hspace{9mm}
D) 1488 K
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule


\end{document}