\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{16.0cm}
\setlength{\textheight}{22.0cm}
\setlength{\hoffset}{-1.5cm}
\setlength{\voffset}{-2.0cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\parskip}{0cm}
\oddsidemargin=1.7cm
\evensidemargin=1.7cm
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%\usepackage{epsfig}  %% Brukes sammen med eps-figurer, kjør da LaTeX --> DVI, etterfulgt av PDF
\usepackage{graphicx}  %% Brukes sammen med pdf-figurer, kjør da LaTeX --> PDF på direkten


\begin{document}
\noindent{\large\bf Institutt for fysikk, NTNU}\\
{\large TFY4165 og FY1005 Termisk fysikk, våren 2012.}\\ \ \\
\centerline{\large {\bf Regneøving 7.}}\\
\centerline{(Veiledning: Mandag 27.~februar kl.~8.15 - 10.00 og kl.~10.15 - 12.00.)} 
%111111111111111111111111111111111111111111111111
\normalsize
\ \\
\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 1}\\

\noindent
a)\,\, Vis relasjonen (Maxwell-relasjon)

\[\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.\]
\ \\

\noindent
b)\,\, En Cu-blokk (kopperblokk) har volumet $V=1$\,cm$^3$ ved temperaturen $T=100$\,K og trykket $p_1=1,1\cdot 10^5$\,Pa. Blokken blir så komprimert reversibelt og isotermt til trykket $p_2=1,3\cdot10^8$\,Pa. For Cu er isoterm kompressibilitet og kubisk utvidelseskoeffisient henholdsvis

\[\kappa_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T= 0,721\cdot10^{-11}\,{\rm Pa}^{-1} \quad{\rm og}\]
\[\alpha_V=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=50,4\cdot10^{-6}\,{\rm K}^{-1}.\]
Beregn arbeidet $W$ som utføres på Cu-blokken ved denne kompresjonen. (Anta at $\kappa_T$ og $\alpha_V$ er konstante og at endringen i $V$ er liten ved denne kompresjonen.)\\

\noindent
c)\,\, Hva blir endringen i entropi $\Delta S$ for Cu-blokken ved denne isoterme kompresjonen, og hvor stor blir endringen i indre energi $\Delta U$? [Hint: Benytt resultatet fra punkt a) til å bestemme $\Delta S$.] {\small (Svar: $\Delta S=-6,55\cdot10^{-3}$\,J/K.)}\\
\ \\
%\newpage

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 2}\\

\noindent
a)\,\, En ideell gass kjøles fra temperaturen $T$ til $T_0$. Omgivelsenes temperatur er hele tiden $T_0$. Start- og sluttilstanden har samme volum ($\Delta V=0$). Vis at det maksimale arbeid som er mulig å få ut av gassen er

\[W_{max}=C_V (T-T_0)-C_V T_0 \ln\frac{T}{T_0}.\]

\newpage
\noindent
b)\,\, Hvor mye varme avgis og hva er det maksimale arbeidet når gassen er ett mol toatomig gass og avkjølingen er fra 100$^o$C til 20$^o$C? {\small (Svar: $W_{max}=193$\,J.)}\\
\ \\
c) En måte å ta ut det maksimale arbeidet på er å la en Carnot-maskin virke mellom den øvre avtagende temperaturen og den faste $T_0$. Vis at dette gir det samme arbeidet $W_{max}$.\\
\ \\
d)\,\, En annen måte å ta ut det maksimale arbeidet på er først å ekspandere gassen adiabatisk slik at temperaturen synker til $T_0$. Deretter komprimeres den isotermt tilbake til opprinnelig volum. Vis at dette også gir samme arbeid $W_{max}$.\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 3}\\

\noindent
Verdien på differensen mellom spesifikke varme ved konstant trykk og konstant volum $C_p-C_V$ avhenger av hvor mye et stoff utvider seg med endring i trykk og temperatur. Den kubiske utvidelseskoeffisienten og isoterme kompressibiliteten for et stoff er gitt ved henholdsvis

\[\alpha_V=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\quad{\rm og}\quad
\kappa_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T.\]
For vann ved 25$^o$C er $\alpha_V=2,572\cdot10^{-4}$\,K$^{-1}$ og $\kappa_T=4,525\cdot10^{-5}$\,bar$^{-1}$ ($1\,{\rm bar}=10^5$\,Pa). Vannets massetetthet er 0,9971\,g/ml ved denne temperaturen og molekyl{\-}vekten er 18\,g/mol.

Bestem verdien av $C_p-C_V$ for ett mol vann ved 25$^o$C på grunnlag av disse opplysningene. [Hint: Benytt uttrykket for $C_p-C_V$ og relasjonen mellom deriverte ved syklisk ombytte av variable utledet i forelesningene.] {\small (Svar: 9,5\,\% av tilsvarende verdi for ideell gass.)}\\ 



%\phantom{mmm }(Oppgitt: Se øverst neste side.)
%\newpage
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lll}
%\mbox{Oppgitt:} & {\displaystyle {\bf F}=I({\bf L}\times {\bf B}),\,\,\,\,\,\,
%{\cal E}=-\frac{d\phi_m}{dt}},\,\,\,\,\,\, \phi_m=\int {\bf B\,dA} \hspace{10cm}\\
%&{\bf a}\times {\bf b} = (a_x b_y - a_y b_x ){\bf\hat{e}}_z + 
%(a_y b_z-a_z b_y){\bf\hat{e}}_x + (a_z b_x -a_x b_z){\bf\hat{e}}_y\\
%&{\displaystyle \int
%\frac{u\,du}{(a^2+u^2)^{n/2}} = -\frac{1}{n-2}\frac{1}{(a^2+u^2)^{n/2-1}}}\\
%\end{array}
%\end{displaymath}


%\label{pg:siste-oppgaveside}


\end{document}