\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{16.0cm}
\setlength{\textheight}{22.0cm}
\setlength{\hoffset}{-1.5cm}
\setlength{\voffset}{-2.0cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\parskip}{0cm}
\oddsidemargin=1.7cm
\evensidemargin=1.7cm
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%\usepackage{epsfig}  %% Brukes sammen med eps-figurer, kjør da LaTeX --> DVI, etterfulgt av PDF
\usepackage{graphicx}  %% Brukes sammen med pdf-figurer, kjør da LaTeX --> PDF på direkten



\begin{document}
\noindent{\large\bf Institutt for fysikk, NTNU}\\
{\large TFY4165 og FY1005 Termisk fysikk, våren 2012.}\\ \ \\
\centerline{\large {\bf Regneøving 8.}}\\
\centerline{(Veiledning: Mandag 5.~mars kl.~8.15 - 14.00 og kl.~10.15 - 12.00.)} 
%111111111111111111111111111111111111111111111111
\normalsize
\ \\
\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 1}\\

\noindent 
a)\,\, Et kvantisert magnetisk moment (f.eks.~et elektronspinn eller kjernespinn i atomkjerne) i et ytre magnetfelt ${\cal H}$ har energien $-sh$ der $s=\pm 1$ og $h=A{\cal H}$ der $A$ er en konstant. I termisk likevekt er sannsynligheten for å være i en av de to tilstandene $s=\pm 1$ gitt ved

\[p(s)=C\,e^{\beta sh}\]
der $C$ er en normeringskonstant og $\exp{(\beta sh)}=\exp{(-\beta (-sh))}$ er Boltzmannfaktoren. Beregn $C$ og bestem med det partisjonsfunksjonen $Z=C^{-1}$.

 Midlere magnetiske moment er proposjonalt med middelverdien av $s$ gitt ved

\[m= \langle s\rangle=\sum\limits_{s=\pm 1} s\,p(s).\]
Beregn $m$. {\small (Svar: $m=\tanh{\beta h}$. For små $h$ er $m=\beta h\propto {\cal H}/T$, dvs. Curies lov.)}

\ \\
\noindent
b)\,\, Med kjent $Z$ kan også entropien $S$ bestemmes. For $N$ uavhengige (ikke-vekselvirkende) spinn er Gibbs fri energi $G$ gitt ved $-\beta G=N\ln Z$ og enthalpien $H=U-N\langle s\rangle h=-Nmh$. (For fri ikke-vekselvirkende spinn er indre energi $U=0$ og $Nmh$ tilsvarer $\mu_0{\cal MH}$, dvs.~$Nm=A^{-1}\mu_0{\cal M}$ og $h=A{\cal H}$ der ${\cal M}$ er det magnetiske moment og $A$ er en konstant.) 

Entropien følger da av den termodynamiske relasjonen\,\, $G=H-TS$, dvs. $S=(H-G)/T=k\beta(H-G)=Nk(\beta mh-\ln Z)$\,\, (eller fra \,\,$dG=-S\,dT-m\,dh$\,\, som\,\, $S=-(\partial G/\partial T)_h$).
En kan så eliminere $\beta h$ ved å invertere $m=\tanh(\beta h)$. Dette gir $\beta h=\frac{1}{2}\ln\left[(1+m)/(1-m)\right]$ slik at entropien blir

\[S=Nk\left[\ln 2-\frac{1}{2}(1+m)\ln(1+m)-\frac{1}{2}(1-m)\ln(1-m)\right]\].

Som et alternativ til en slik beregning kan entropien bestemmes direkte fra Boltzmanns resultat\,\, $S=k\ln W$. Anta at et antall $N_+$ og $N_-$ spinn peker henholdsvis med og mot magnetfeltet. Med $s=\pm 1$ er da magnetiseringen såvel som energien (enthalpien) $H=-Nmh$
proporsjonal med $Nm=N_+ -N_-$ (der $N=N_+ +N_-$).
%\newpage
Beregn antall mikrotilstander $W$ forenlig både med den gitte magnetiseringen og energien (dvs.~med $Nm=N_+ -N_-$ fast) og vis med det at entropien blir som angitt ovenfor. 

Oppgitt: $\ln N!=N\ln N-N$,\,\, $N\rightarrow\infty$.\\

\noindent
c)\,\, Et slikt spinnsystem kan benyttes til å oppnå svært lave temperaturer ved å bruke adiabatisk demagnetisering. Et kraftig magnetfelt $h_1$ settes på isotermt ved lav tempera{\-}tur $T_1$. Deretter fjernes termisk kopling og magnetfeltet slås av adiabatisk. På grunn av litt kopling mellom spinnnene ender en opp med et effektivt magnetfelt $h_2>0$. Hva blir resulterende temperatur $T_2$ når andre bidrag til entropien negliseres. [For lave $T$ er
spesifikk varme fra kvantiserte gittervibrasjoner $C\propto T^3$ slik at bidraget til entropien herfra $S=\int (C/T)\,dT$ kan negliseres for tilstrekkelig lave $T$.]\\
\ \\ 

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 2}\\

For en ideell {\'e}natomig gass gjelder

\[\frac{pV}{T}=x\,C_V\]
der $x=2/3$ da $C_V=\frac{3}{2}nR$. For en fotongass (i et strålingshulrom) gjelder samme relasjon med en annen numerisk konstant enn 2/3. Hva er $x$ for en fotongass?\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 3}\\

\noindent
a)\,\, Energitettheten av elektromagnetisk stråling i et strålingshulrom er gitt ved $u=aT^4$. Strålingen ut fra en åpning på overflaten til et slikt 
hulrom eller fra en overflate mer generelt er proposjonal denne energitettheten. Utstrålt effekt pr.~arealenhet for såkalt svart stråling er gitt ved\,\, $j=\sigma T^4$\,\, der $\sigma=5,67\cdot10^{-8}$\,W/(m$^2$ K$^4$) er Stefan-Boltzmanns konstant. Svart stråling gir den maksimale effekten som kan stråle fra en flate.

Sola har diameteren $d=1,392\cdot10^6$\,km og ligger i en midlere avstand $R=149,6\cdot10^6$\,km fra jorda. Hva er utstrålt effekt pr.~m$^2$ når det antas at sola stråler som en ideell svart stråler. Dens effektive overflatetemperatur er $T_0=5785$\,K.

Hva er effekten pr.~m$^2$ som entrer jordatmosfæren?\\

\noindent
b)\,\, Anta at jorda sender ut igjen effekten som er mottatt fra sola ved at den også stråler som en ideell svart stråler. Hvilken midlere temperatur ville dette gi på jordoverflaten?\\

\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 4}\\

Cu (kopper) har varmekapasiteten $C_{Cu}=0,387$\,kJ/kg (ved konstant trykk) mens den for vann er $C_{va}=1$\, cal/g$=4,184$\,J/g. 4,0\,kg Cu med temperatur 50$^o$C slippes opp i 1,5\,kg vann som har temperaturen 5$^o$C. Systemet kommer i likevekt ved at temperaturen jevner seg ut. Hva blir likevektstemperaturen $T$ når systemet er varmeisolert fra omgivelsene?



%\phantom{mmm }(Oppgitt: Se øverst neste side.)
%\newpage
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lll}
%\mbox{Oppgitt:} & {\displaystyle {\bf F}=I({\bf L}\times {\bf B}),\,\,\,\,\,\,
%{\cal E}=-\frac{d\phi_m}{dt}},\,\,\,\,\,\, \phi_m=\int {\bf B\,dA} \hspace{10cm}\\
%&{\bf a}\times {\bf b} = (a_x b_y - a_y b_x ){\bf\hat{e}}_z + 
%(a_y b_z-a_z b_y){\bf\hat{e}}_x + (a_z b_x -a_x b_z){\bf\hat{e}}_y\\
%&{\displaystyle \int
%\frac{u\,du}{(a^2+u^2)^{n/2}} = -\frac{1}{n-2}\frac{1}{(a^2+u^2)^{n/2-1}}}\\
%\end{array}
%\end{displaymath}


%\label{pg:siste-oppgaveside}


\end{document}