\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{16.0cm}
\setlength{\textheight}{22.0cm}
\setlength{\hoffset}{-1.5cm}
\setlength{\voffset}{-2.0cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\parskip}{0cm}
\oddsidemargin=1.7cm
\evensidemargin=1.7cm
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%\usepackage{epsfig}  %% Brukes sammen med eps-figurer, kjør da LaTeX --> DVI, etterfulgt av PDF
\usepackage{graphicx}  %% Brukes sammen med pdf-figurer, kjør da LaTeX --> PDF på direkten

\begin{document}
\noindent{\large\bf Institutt for fysikk, NTNU}\\
{\large TFY4165 og FY1005 Termisk fysikk, v{\aa}ren 2012.}\\ \ \\
\centerline{\large {\bf Regne{\o}ving 9.}}\\
\centerline{(Veiledning: Mandag 12. mars kl.~8.15 - 10.00 og kl.~10.15 - 12.00.)} 
%111111111111111111111111111111111111111111111111
\normalsize
\ \\
\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 1}\\

\noindent
Damptrykket for vann ved 0$^\circ$C er 4,58\,mm Hg. Anta at vanndampen er ideell gass med volum som er mye st{\o}rre enn volumet til samme mengde vann. Anta videre at fordampingsvarmen (ved 100$^\circ$C) $L=40,7$\,kJ/mol kan benyttes for alle temperaturer. Beregn ut fra dette kokepunktet til vann ved 1\,atm (760\,mm Hg).\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 2}\\

\noindent
Ved temperaturene $T_1=0^\circ$\,C og $T_2=20^\circ$\,C er damptrykket for CCl$_4$ (karbon{\-}tetraklorid) henholdsvis 4402\,Pa og 12139\,Pa. Bestem fordampingsvarmen, og estimer damptrykket ved $T=30^\circ$\,C.\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 3}\\

\noindent
a)\,\, Metaller som gl{\o}der, sender ut elektroner (termisk emisjon). Dette kan betraktes som en fordampingsprosess der elektronene i den ene fasen er bundet til metallet mens i den andre fasen er elektronene en ideell gass i vakuum. For {\aa} komme ut i vakuum m{\aa} hvert elektron f{\o}rst overvinne en energibarriere eller tilf{\o}res en energi $\phi$ (bindingsenergi) og i tillegg tilf{\o}res n{\o}dvendig kinetisk energi pluss energi for {\aa} gi plass ved konstant trykk (arbeid mot ytre trykk). Den kinetiske energien er i middel $\frac{3}{2}kT$ pr.\ partikkel mens arbeidet mot det ytre trykket er $kT$. (Dette er i samsvar med at for en {\'e}natomig ideell gass er $C_V=\frac{3}{2}NkT$ og $pV=NkT$.) P{\aa} grunn av kvantemekaniske effekter (degenerert fermiongass ved lav $T$) kan den spesifikke varmen til elektronene i metallet neglisjeres (dvs.~settes lik null). Hvilken energi  (entalpi eller fordampingsvarme) pr.\ partikkel $l$ m{\aa} tilf{\o}res elektronet for at det skal bevege seg ut i vakuum der det opptrer som en {\' e}natomig ideell gass?\\

\noindent
b)\,\, Anta at netto elektrisk ladning fra elektronene kan neglisjeres eller at den er n{\o}ytralisert av ladninger med motsatt fortegn. Bestem med denne forutsetningen sammenhengen mellom trykk $p$ (damptrykk) og temperatur $T$ for elektronene i vakuum utenfor metallet. ({\small Svar: $p={\rm konst}\cdot T^{5/2}\exp{(-\phi/(kT))}.$}        

\ \\
\newpage
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 4}\\

\noindent
La $C_p$ og $C_V$ v{\ae}re spesifikk varme   ved henholdsvis konstant trykk og konstant volum. Vis at differansen  $C_p-C_V$ for et mol av en van der Waals gass med tilstandslikning

\[p=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}\]
er gitt ved

\[C_p-C_V=\frac{R}{1-\frac{2a(V-b)^2}{RTV^3}}.\]
[Hint: Benytt resultatet for $C_p-C_V$ utledet i forelesningene. Relasjonen mellom deriverte ved syklisk ombytte av variable kan ogs{\aa} benyttes.]

\noindent
Hva blir $C_p-C_V$ p{\aa} kritisk punkt?


\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 5}\\

\noindent
For temperaturer $T$ under kritisk temperatur $T_c$ gir van der Waals tilstandsligning,
$$p(V) = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2},$$
koeksistens mellom v{\ae}ske og gass for en bestemt verdi av trykket, $p_{co}$, det s{\aa}kalte
koeksistenstrykket. Vi g{\aa}r ikke inn p{\aa} begrunnelsen her, men det kan vises at
$p_{co}$ fastlegges ved hjelp av Maxwells regel om like arealer, dvs like stort gult (lyst)
som bl{\aa}tt (m{\o}rkt) areal i figuren under, alternativt den ekvivalente betingelsen
$$p_{co} \cdot \left( V_g - V_l \right) = \int_{V_l}^{V_g} p(V)\,dV,$$
der $V_l$ og $V_g$ er hhv molart v{\ae}ske- og gassvolum.


%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=4in]{like_arealer.pdf}
\end{center}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\noindent
Bruk verdiene $a = 1.368$ bar $($m$^3$/kmol$)^2$ og $b = 0.0367$ (m$^3$/kmol) for luft 
(jf {\o}ving 1), samt gasskonstanten $R = 8.314$ J/mol\,K. Kritisk temperatur for luft
er med disse parametrene og van der Waals tilstandsligning omtrent 133 K. \\

\noindent
Oppgave: Bruk Maxwells regel om like arealer til {\aa} fastlegge
koeksistenstrykket $p_{co}$, med en n{\o}yaktighet p{\aa} 1 mbar, ved en gitt temperatur $T = 123$ K.
Du kan ta utgangspunkt i Matlab-programmet i {\o}ving 1, der van der Waals isotermen for (blant annet)
denne temperaturen ble plottet i andre del av oppgave 4. \\

\noindent
En enkel algoritme for {\aa} l{\o}se dette problemet numerisk kan se omtrent slik ut:
\begin{itemize}
\item 
Basert p{\aa} isotermen $p(V)$, gjett en verdi for v{\ae}skevolumet $V_l$.
\item 
Bestem tilh{\o}rende trykkverdi $p(V_l)$.
\item 
Bestem tilsvarende gassvolum $V_g$, dvs slik at $p(V_g) = p(V_l)$
\item 
Bestem
$$\int_{V_l}^{V_g} p(V)\,dV$$
numerisk og sammenlign med arealet $p(V_l) \cdot (V_g-V_l)$.
\item 
Gjett en ny verdi for $V_l$ og gjenta prosedyren inntil $p_{co}$ er bestemt med
den {\o}nskede n{\o}yaktighet.
\end{itemize} 

\noindent
En innledende del til programmet er tatt med nedenfor, inkludert noen tips for den videre
programmeringen: 

\begin{verbatim}
%%FY1005/TFY4165, Oving 9, Oppgave 5, innledende del (hentet fra oving 1).
%%
%%Velg utskrift av tallverdier med flere gjeldende siffer enn det som er standard
format long;
%%Temperatur i Kelvin
T=123;
%%V = molart volum (L/mol)
Vmin=0.05;
Vmax=0.50;
NV=500;
%%V = vektor med verdier mellom Vmin og Vmax, i alt NV verdier
V=linspace(Vmin,Vmax,NV);
%%Verdier for a og b for luft: 1.368  0.0367
%%Enheter: [a] = bar*(L/mol)^2 og [b] = L/mol
R=8.134;
a=1.368;
b=0.0367;
%%van der Waals tilstandsligning
p = (R*T./(V-b))/100 - a./(V.*V);
%%Plott av isotermen
fig = plot(V,p);
axis([0 Vmax 0 70]);
%%Tekst paa figuren
title('Isoterm: van der Waals gass','fontsize',18);
xlabel('Molart volum (L/mol)','fontsize',18);
ylabel('Trykk (bar)','fontsize',18);
%%Tegn alle kurver i en og samme figur, saa vi kan sammenlikne.
hold on;

%%HERFRA maa du selv skrive matlab-koden, men du faar noen tips:
%%Elementer som maa eller boer inngaa, inklusive eksempler:
%%
%%A Innlesing av gjetning paa vaeskevolumet V1:
%%
%%Eksempel som ber om innlesing av tallverdi for stoerrelsen x1:
%%x1 = input('Les inn tallverdi for x1:  ')
%%
%%B Bestem trykkverdi P1 som tilsvarer volumet V1:
%%
%%Eksempel som bestemmer y1 = x1 - x1^3:
%%y1 = x1 - x1^3;
%%
%%C Bestem tilsvarende gassvolum V2. Tips: Velg en startverdi V_stor som
%%ut fra kurven p(V) helt sikkert er stoerre enn V2, reduser V_stor
%%med en passende skrittlengde dV, og bruk en while (...) ... end loekke
%%til aa lokalisere V2 slik at P2 = p(V2) er (omtrent) lik P1.
%%
%%Eksempel som lokaliserer x2 slik at y2 = x2 - x2^3 er (omtrent) lik 
%%y1 = x1 - x1^3 med verdien av x1 et sted mellom -1.15 og -0.58 (valgt
%%slik at vi faktisk har en loesning y2 = y1):
%%x_stor = 1.5;
%%dx = 0.1; %%skrittlengde
%%y_find = x_stor - x_stor^3;
%%while (y_find < y1)
%%      x_stor = x_stor - dx;
%%      y_find = x_stor - x_stor^3;
%%end;
%%x2 = x_stor;
%%y2 = y_find;
%%
%%D Integrer p(V) numerisk fra V1 til V2, og sammenlign med P1*(V2-V1), 
%%dvs. arealet under den horisontale linjen.
%%
%%Eksempel som integrerer funksjonen 
%%y = x - x^3 fra x1 til x2 med saakalt adaptiv Simpson-kvadratur, og
%%regner ut forskjellen mellom integralet I og arealet y1*(x2-x1) under
%%den horisontale linjen:
%%y = @(x) (x - x^3); 
%%I = quad(y, x1, x2);
%%avvik = I - y1*(x2-x1);
%%
%%E Tegn inn linjen mellom (P1,V1) og (P2,V2). Skriv ut beregnede stoerrelser.
%%
%%Eksempel:
%%plot([x1,x2],[y1,y2]);
%%disp('x1,x2: ')
%%disp(x1)
%%disp(x2)
%%disp('y1,y2: ')
%%disp(y1)
%%disp(y2)
%%disp('Avvik mellom areal under kurve og rektangel: ')
%%disp(avvik)
%%
%%Endre x1, og eventuelt ogsaa x_stor og dx, og kjoer paa nytt, 
%%for aa oppnaa et mindre avvik.
\end{verbatim}

\vspace{1cm}
\noindent
Til slutt et par kommentarer, samt tips til videre arbeid:
\begin{itemize}
\item
Merk at skrittlengden $dV$ setter en begrensning p{\aa} hvor n{\o}yaktig koeksistenstrykket
$p_{co}$ kan bestemmes.
\item
Merk at fortegnet p{\aa} avviket mellom arealet under kurven $p(V)$ og rektanglet kan brukes 
til {\aa} avgj{\o}re om gjetningen p{\aa} $V_l$ skal justeres opp eller ned.
\item
Den iterative prosessen for lokalisering av $V_l$, og dermed $p_{co}$, kan gj{\o}res
manuelt eller automatisk. I algoritmen og eksemplet ovenfor er det skissert en manuell
l{\o}sning, der programmet simpelthen kj{\o}res p{\aa} nytt og ny verdi for $V1$ leses inn
fra ''kommandolinjen''.
\item
{\em Utfordring}: Bestem $dp/dT$ numerisk og sammenlign med Clausius-Clapeyrons ligning.
\end{itemize}

\end{document}