\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{16.0cm}
\setlength{\textheight}{24.0cm}
\setlength{\hoffset}{-1.5cm}
\setlength{\voffset}{-2.0cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\parskip}{0cm}
\oddsidemargin=1.7cm
\evensidemargin=1.7cm
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%\usepackage{epsfig}  %% Brukes sammen med eps-figurer, kjør da LaTeX --> DVI, etterfulgt av PDF
\usepackage{graphicx}  %% Brukes sammen med pdf-figurer, kjør da LaTeX --> PDF på direkten

\begin{document}
\noindent{\large\bf Institutt for fysikk, NTNU}\\
{\large TFY4165 og FY1005 Termisk fysikk, våren 2012.}\\ \ \\
\centerline{\large {\bf Regneøving 11.}}\\
\centerline{(Veiledning: Mandag 26.~mars kl.~8.15 - 10.00 og kl.~10.15 - 12.00.)} 
%111111111111111111111111111111111111111111111111
\normalsize
\ \\
\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 1}\\

Beregn følgende middelverdier av hastighetskomponentene til partikler med masse $m$ i termisk likevekt ved temperaturen $T$

\[\langle v_ x\rangle,\quad  \langle v_ x^2\rangle,\quad\langle v_ x^3\rangle,\quad\langle v_ x^4\rangle,\quad\langle v_ x^5\rangle,\quad\langle v_ x v_y\rangle.\quad \]

Hvordan kan vi uten å regne ut middelverdiene eksplisitt vite at $\langle v_ x^4\rangle$ er større enn $\langle v_ x^2\rangle^2$?\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 2}\\

Den første separasjonen av uranisotopene $^{235}$U og $^{238}$U ble gjort ved å overføre uranet til UF$_6$ og så la gassen diffundere ut gjennom veggene i en porøs beholder av volum $V$.

Se på anrikingen av den tunge komponenten 1 av en isotopblanding med partikkelmasser henholdsvis $m_1$ og $m_2\,\,(<m_1)$ ved effusjon gjennom et hull med areal $A$. Tempera{\-}turen er $T$, og gassen som kommer ut pumpes bort. Beregn molbrøken $x_1$ av komponent 1 inne i beholderen, opprinnelig lik $x_1^0$, som funksjon av tida.\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 3}\\

En ren metalloverflate er plassert i vakuum der oksygentrykket er 10$^{-7}$\,torr (1\,torr=1\, mm Hg, 760\,mm Hg=1\,atm=1.013$\cdot10^5$\,Pa). Anta at hvert oksygenmolekyl som har dia{\-}meter 2,3\,Å og treffer metalloverflata, forblir der. Temperaturen er 27$^o$C.

Finn ut hvor vanskelig det er å være overflatefysiker ved å beregne hvor lang tid det tar før 10\,{\%} av metalloverflata er dekket av oksygen.

Hva må trykket være for at en skal kunne gjøre et eksperiment av en times varighet når eksperimentet krever rene overflater (10\,{\%} forurensing er toleransegrensen)?\\ {\small (Svar: $2\cdot10^{-10}$\,torr)



%\phantom{mmm }(Oppgitt: Se øverst neste side.)
%\newpage
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{lll}
%\mbox{Oppgitt:} & {\displaystyle {\bf F}=I({\bf L}\times {\bf B}),\,\,\,\,\,\,
%{\cal E}=-\frac{d\phi_m}{dt}},\,\,\,\,\,\, \phi_m=\int {\bf B\,dA} \hspace{10cm}\\
%&{\bf a}\times {\bf b} = (a_x b_y - a_y b_x ){\bf\hat{e}}_z + 
%(a_y b_z-a_z b_y){\bf\hat{e}}_x + (a_z b_x -a_x b_z){\bf\hat{e}}_y\\
%&{\displaystyle \int
%\frac{u\,du}{(a^2+u^2)^{n/2}} = -\frac{1}{n-2}\frac{1}{(a^2+u^2)^{n/2-1}}}\\
%\end{array}
%\end{displaymath}


%\label{pg:siste-oppgaveside}


\end{document}