\documentclass[12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{16.0cm}
\setlength{\textheight}{22.0cm}
\setlength{\hoffset}{-1.5cm}
\setlength{\voffset}{-2.0cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\parskip}{0cm}
\oddsidemargin=1.7cm
\evensidemargin=1.7cm
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%\usepackage{epsfig}  %% Brukes sammen med eps-figurer, kjør da LaTeX --> DVI, etterfulgt av PDF
\usepackage{graphicx}  %% Brukes sammen med pdf-figurer, kjør da LaTeX --> PDF på direkten

\begin{document}
\noindent{\large\bf Institutt for fysikk, NTNU}\\
{\large TFY4165 og FY1005 Termisk fysikk, v{\aa}ren 2012.}\\ \ \\
\centerline{\large {\bf Regne{\o}ving 12.}}\\
\centerline{(Veiledning: Mandag 16.~april kl.~8.15 - 10.00 og kl.~10.15 - 12.00)}
%111111111111111111111111111111111111111111111111
\normalsize
\ \\
\ \\
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 1}\\

En svart overflate som holdes p{\aa} konstant (h{\o}y) temperatur $T_h$ er parallell med en annen svart overflate 
med konstant temperatur $T_ l$. Det er vakuum mellom platene.

For {\aa} redusere varmestr{\o}mmen p{\aa} grunn av str{\aa}ling innf{\o}res et varmeskjold som best{\aa}r av 
$N$ parallelle svarte plan som plasseres mellom den kalde og varme overflata. Etter en stund oppn{\aa}s 
stasjon{\ae}re forhold.

Beregn hvilken reduksjon av energistr{\o}mmen mellom overflatene $T_h$ og $T_l$ varmeskjoldet gir. 
({\small Svar: $1/(N+1)$})\\
\ \\

\noindent\underline{\large\bf Oppgave 2}\\

Poteter av en viss st{\o}rrelse trenger 25\,min for {\aa} koke ferdig. Anta at poteter er kokt ferdig 
n{\aa}r temperaturen i midten overstiger en viss verdi. Hvor lang tid trengs da for {\aa} koke ferdig 
poteter av samme type og samme form, men som er dobbelt s{\aa} tunge?\\
({\small Svar: 40\,min})\\
\ \\
 
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 3}\\

I {\o}ving 9 ble sammenhengen mellom trykk $p$ og temperatur $T$ for elektroner 
i vakuum utenfor en metalloverflate funnet som

\[p=C T^{5/2}\exp\left(-\frac{\phi}{kT}\right)\]
der $C$ er en konstant og $\phi$ er bindingsenergi. Elektrontettheten i vakuum f{\o}rer til en netto 
elektronstr{\o}m mot metalloverflaten og da naturlig nok en tilsvarende str{\o}m ut for {\aa} opprettholde 
likevekten. Bestem hvordan denne elektronstr{\o}mmen $I$ ut fra en metalloverflate varierer med 
temperaturen $T$. \quad({\small Svar: $AT^2\exp(-\phi/(kT)),\:\:A=$konst})\\

\newpage
\noindent\underline{\large\bf Oppgave 4}\\

\noindent
a)\,\, Vis ved innsetting at 

\[T=T(r,t)=a\frac{\sin(kr)}{r}\,e^{-Dk^2 t}\]
er en l{\o}sning av diffusjonslikningen

 \[\frac{\partial T}{\partial t} =D\nabla ^2 T\quad \mbox{der}\quad 
\nabla^2=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r\quad\mbox{med kulesymmetri}.\]

\noindent
b)\,\, En mer vilk{\aa}rlig kulesymmetrisk l{\o}sning er gitt ved

\[T=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\frac{\sin(k_n r)}{r}e^{-Dk_n^2 t}+T_\infty.\]

\noindent
St{\o}rrelsene $a_n$ og $k_n$ bestemmes av grensebetingelsene. Hvilke verdier kan $k_n$ ha n{\aa}r en 
grensebetingelse er at $T(R,t)=T_\infty$?\\

\noindent
c)\,\, Varmeledningslikningen skal ved siden av grensebetingelsen $T(R,t)=T_\infty$ 
l{\o}ses med begynnelsesbetingelsen

\[T(r,0)-T_\infty=T_0\;\:(={\rm konst}),\quad ({\rm for}\:\; r<R).\]
Koeffisientene $a_n$ kan s{\aa} bestemmes ved {\aa} regne ut integralet

\[a_m=\frac{2}{R}\int\limits_0^R (T(r,0)-T_\infty)r\sin(k_m r)\,dr.\]
Vis ved {\aa} sette inn uttrykket under punkt b) at dette gir riktig verdi for $a_m$. [Dette tilsvarer 
rekkeutvikling av en vilk{\aa}rlig funksjon i egentilstander i kvantemekanikk. Her blir dette en 
fourier-rekke (sinusrekke) av funksjonen\, $(T-T_\infty)r$\, i intervallet $-R<r<R$.]

\noindent
Regn s{\aa} ut koeffisientene $a_n$.\quad({\small Svar: $2RT_0/(n\pi)(-1)^{n-1}$})\\
\ \\
\noindent
Oppgitt: $2\sin A \sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B)$ og\\ 
\hspace*{2.2cm}$\int x\sin(\alpha x)\,dx= -x\cos(\alpha x)/\alpha +\sin(\alpha x)/\alpha^2$.\\


\noindent
d)\,\, For store tider ($\exp(-Dk_1^2 t)\ll 1$) vil leddet med $k_1$ dominere slik at de {\o}vrige leddene 
kan neglisjeres. Betrakt s{\aa} avkj{\o}ling av en kule der grensebetingelsene er som under punkt c). 
Anta at kula best{\aa}r vesentlig av vann (som er bundet slik at det ikke kan str{\o}mme). 
Ved hvilken tid $t=\tau$ er temperaturen i midten av kula ($r=0$) sunket til $T=0,1\,T_0+T_\infty$ 
(slik at $k_1$-leddet dominerer) n{\aa}r $R=5,0$\,cm og $D=D_T=0,00050$\,m$^2$/h for vann?\\
({\small Svar: 1\,time 31\,min})

\noindent
Oppgitt: $\sin x/x\rightarrow 1$ n{\aa}r $x\rightarrow 0$. \\

\newpage
\noindent
e)\,\, Bestem $T(r,t)$ numerisk for $0 < r < R$ og $0 < t < t_{\rm max}$, med (f.eks.)
$t_{\rm max} = 3$ timer. Pr{\o}v deg fram n{\aa}r det gjelder hvor mange ledd du skal ta med
i fourier-rekken. Lag en animasjon som viser tidsutviklingen av
temperaturprofilen $T(r)$. Lag ogs{\aa} figurer med hhv $T(t)$ for utvalgte verdier av
posisjonen $r$ og $T(r)$ for utvalgte tidspunkter $t$. Bruk 4 - 5 kurver pr figur. \\

\noindent
Nedenfor finner du et eksempel p{\aa} hvordan man kan lage en animasjon i Matlab ved {\aa}
slette den gamle grafen og tegne en ny graf i samme figur.

\begin{verbatim}
%Tabell med tidspunkter
t=0:1:20;
%Tabell med posisjoner
r=0.00:0.01:1.00;
%Starttabell for f(r) med like mange elementer som tabellen for posisjonen r:
f = linspace(0,10,length(r));
%Neste linje setter EraseMode til xor, bra for "smooth animation", se
%http://nd.edu/~dtl/cheg258/notes/doc/tec2.5.html
p=plot(r,f,'-','EraseMode','xor');
%Sett aksegrenser [xmin xmax ymin ymax]:
axis([0 1 0 2]);
%Nodvendig med "hold on" for fortsatt bruk av samme figur:
hold on;
xlabel('Posisjonen r');
ylabel('Funksjonen f');
title('Animasjon av f(r,t)');
for i = 1 : length(t),
 for k = 1 : length(r),
  f(k) = sin(r(k)*t(i))^2;
 end
 %Plott f(r,t) for aktuelt tidspunkt:
 set(p,'XData',r,'YData',f)
 %Oppdaterer grafen i figuren:
 drawnow
 %Forsinker framvisningen i 0.2 s (juster etter behov):
 pause(0.2);
end
hold off;
\end{verbatim}


\end{document}