\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 13
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.2cm}

$a)$ Med kulesymmetri blir
$$\nabla^2 = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r,$$
s{\aa} vi f{\aa}r
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial T}{\partial t} &=& a \frac{\sin kr}{r} (-D_T k^2) e^{-D_T k^2 t} = -D_T k^2 T, \\
\nabla^2 T &=& a (-k^2) \frac{\sin kr}{r} e^{-D_T k^2 t} = -k^2 T.
\end{eqnarray*}
F{\o}lgelig er den gitte $T$ l{\o}sning av varmeledningsligningen. \\

$b)$ Grensebetingelsen $T=T_\infty$ for $r=R$ inneb{\ae}rer at
$$\sin k_n R = 0,$$
eller
$$k_n R = n\pi \;\;\;\; {\rm dvs} \;\;\;\; k_n = n \pi/R,$$
med $n$ et heltall. \\

$c)$ Ved {\aa} sette inn det gitte uttrykket for $T$ i integralet for $a_m$ finner en ($t=0$)
\begin{eqnarray*}
a_m &=& \frac{2}{R} \sum_n a_n \int_0^R \frac{\sin k_n r}{r} r \sin k_m r \, dr \\
&=& \frac{2}{R} \sum_n a_n \frac{1}{2} \int_0^R \{[\cos[(n-m)\pi r/R] - \cos[(n+m)\pi r/R]\} dr \\
&=& \frac{2}{R} \sum_n a_n \frac{1}{2}R \delta_{nm} \\
&=& a_m,
\end{eqnarray*}
som skulle vises. Her har vi brukt at
$$\int_0^R \cos (q \pi r/R) \, dr = 0$$
dersom $q$ er et heltall forskjellig fra null, mens det samme integralet har verdien $R$
dersom $q=0$. Med den gitte grensebetingelsen blir koeffisientene
\begin{eqnarray*}
a_n &=& \frac{2}{R} T_0 \int_0^R r \sin k_n r \, dr \\
&=& \frac{2T_0}{R} \biggr|_0^R \left( -\frac{r \cos k_n r}{k_n} + \frac{\sin k_n r}{k_n^2} \right) \\
&=& \frac{2T_0}{R} \left( \frac{-R \cos n\pi}{k_n} + 0 \right) = 
\frac{2T_0}{k_n} (-1)^{n-1} \\
&=& \frac{2R T_0}{n \pi} (-1)^{n-1}.
\end{eqnarray*}

\vspace{0.3cm}
$d)$ Siden
$$\lim_{r \to 0}\; \frac{\sin k_n r}{k_n r} = 1,$$
har en at
$$T(0,t) - T_\infty = \sum_n a_n k_n e^{-D_T k_n^2 t} \underset{t \rightarrow \infty}{\rightarrow}
a_1 k_1 e^{-D_T k_1^2 t} = 2 T_0 e^{-D_T k_1^2 t}.$$
Ved tida $t=\tau$ har en s{\aa}
$$T(0,\tau) - T_\infty = 2 T_0 e^{-D_T k_1^2 \tau} = \frac{1}{10} T_0.$$
L{\o}st mhp $\tau$ gir dette
$$\tau = \frac{-\ln(1/20)}{D_T k_1^2} \simeq 1.52 \; {\rm h}\, = 5460 \; {\rm s}.$$
Her har vi satt inn $k_1 = \pi/R$, $R = 0.05$ m, og $D_T = 0.0005$ m$^2$/h. \\

\vspace{1.3cm}

Litt ekstra puslearbeid for den som liker denslags:

Kontroller den oppgitte rekkeutviklingen for $T$ ved {\aa} sette inn uttrykk for koeffisientene
$a_n$ og ''b{\o}lgetallene'' $k_n$ og regne ut
$$T(r,0)-T_\infty = \frac{1}{r} \, \sum_{n=1}^\infty a_n \sin (k_n r)$$
og vise at h{\o}yre side her blir lik $T_0$, som oppgitt i punkt $c)$. Tips:
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$$
og
$$\sin(n\alpha) = \frac{1}{2i} [(e^{i\alpha})^n - (e^{-i\alpha})^n].$$

\newpage

$e)$ Forslag til MATLAB-program som besvarer oppgaven (se utlagt fil ov13.m):

\begin{verbatim}
%FY1005/TFY4165 Termisk fysikk, oving 13, oppgave e, 2014.
%Avkjoling av vannkule med perfekt kobling til omgivende
%varmereservoar.
clear;
format long;
%Tabell med tidspunkter (i sekunder)
t=0:60:10800;
%Tabell med posisjoner (i meter), fra 1 mm til 50 mm
r=0.001:0.001:0.050;
%Kulas radius (m):
R=0.050;
%Temperaturforskjell mellom kule og omgivelser ved t=0:
T0=80;
%Temperatur i omgivende reservoar (K):
T1=293;
%Termisk diffusivitet for vann (m^2/s):
D=(25E-7)/18;
a=D*pi*pi/(R*R);
%Antall ledd som tas med i losningen:
N=1000;
%Starttabell for T(r) med like mange elementer som
%tabellen for posisjonen r:
T = linspace(T1,T1+T0,length(r));
%Neste linje setter EraseMode til xor, bra for "smooth animation", se
%http://nd.edu/~dtl/cheg258/notes/doc/tec2.5.html
p=plot(r,T,'-','EraseMode','xor');
%Sett aksegrenser [xmin xmax ymin ymax]:
axis([0 0.05 T1-3 T1+1.25*T0]);
%Nodvendig med "hold on" for fortsatt bruk av samme figur:
hold on;
xlabel('Posisjon (m)');
ylabel('Temperatur (K)');
title('Avkjoling av vannkule, animasjon');
for i = 1 : length(t),
 for k = 1 : length(r),
  T(k) = T1;
  for j = 1 : N,
  T(k)=T(k)+2*T0*(-1)^(j+1)*exp(-j*j*a*t(i))*sin((j*pi/R)*r(k))/((j*pi/R)*r(k));
  end
  %Tsentrum = T(t) i sentrum av kula:
  if k == 1,
      Tsentrum(i) = T(k);
  end
  %Tmidti = T(t) i avstand R/2 fra sentrum:
  if k == int8(length(r)*1/2),
      Tmidti(i) = T(k);
  end
  %Tlangtut = T(t) i avstand 2R/3 fra sentrum:
  if k == int8(length(r)*2/3),
      Tlangtut(i) = T(k);
  end
  %Tytterst = T(t) paa kulas overflate:
  if k == length(r),
      Tytterst(i) = T(k);
  end
  %T60 = T(r) ved t = 60 s:
  if i == 2,
      T60 = T;
  end
  %T1200 = T(r) ved t = 1200 s:
  if i == 21,
      T1200 = T;
  end
  %T3600 = T(r) ved t = 3600 s:
  if i == 61,
      T3600 = T;
  end
  %T10800 = T(r) ved t = 10800 s:
  if i == 181,
      T10800 = T;
  end
 end
 %Plott T(r) for aktuelt tidspunkt:
 set(p,'XData',r,'YData',T) 
 %Oppdaterer grafen i figuren:
 drawnow
 %Forsinker framvisningen i 0.2 s (juster etter behov):
 pause(0.2);
end
hold off;
%Ber om ny figur for aa plotte T(t) for valgte avstander fra sentrum:
figure;
plot(t,Tsentrum,t,Tmidti,t,Tlangtut,t,Tytterst);
legend('r=0','r=R/2','r=2R/3','r=R');
xlabel('Tid (s)');
ylabel('Temperatur (K)');
title('Avkjoling av vannkule');
%Ber om ny figur for aa plotte T(r) for valgte tidspunkter:
figure;
plot(r,T60,r,T1200,r,T3600,r,T10800);
legend('t=1min','t=20min','t=60min','t=180min');
axis([0 0.05 T1-3 T1+1.5*T0]);
xlabel('Posisjon (m)');
ylabel('Temperatur (K)');
title('Avkjoling av vannkule');
\end{verbatim}

\newpage

Figur som viser $T(t)$ for utvalgte verdier av posisjonen $r$: \\

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=5.5in \epsfbox{vannkule_tidsavhengighet.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

Figur som viser $T(r)$ for utvalgte tidspunkter $t$: \\

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=5.5in \epsfbox{vannkule_posisjonsavhengighet.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\end{document}