\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

Veiledning: 7.\ og 10.\ april. Innleveringsfrist: Fredag 11.\ april kl 16.

\vspace{0.2cm}

\begin{large}
{\O}ving 13
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
{\bf Varmeledning med kulesymmetri} \\


$a)$ Vis ved innsetting at 
$$T=T(r,t)=a\frac{\sin(kr)}{r}\,e^{-D_T k^2 t}$$
er en l{\o}sning av varmeledningsligningen
$$\frac{\partial T}{\partial t} =D_T \nabla ^2 T\quad \mbox{der}\quad 
\nabla^2=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r\quad\mbox{med kulesymmetri}.$$

\vspace{0.3cm}
$b)$ En mer generell kulesymmetrisk l{\o}sning er gitt ved
$$T=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\frac{\sin(k_n r)}{r}e^{-D_T k_n^2 t}+T_\infty.$$
St{\o}rrelsene $a_n$ og $k_n$ bestemmes av grensebetingelsene. Hvilke verdier kan $k_n$ ha n{\aa}r en 
grensebetingelse er at $T(R,t)=T_\infty$? \\

$c)$ Varmeledningsligningen skal ved siden av grensebetingelsen $T(R,t)=T_\infty$ 
l{\o}ses med initialbetingelsen
$$T(r,0)-T_\infty=T_0\;\:(={\rm konst}),\quad ({\rm for}\:\; r<R).$$
Koeffisientene $a_n$ kan s{\aa} bestemmes ved {\aa} regne ut integralet
$$a_m=\frac{2}{R}\int\limits_0^R (T(r,0)-T_\infty)r\sin(k_m r)\,dr.$$
Vis ved {\aa} sette inn uttrykket under punkt $b)$ at dette gir riktig verdi for $a_m$. [Dette tilsvarer 
rekkeutvikling av en vilk{\aa}rlig funksjon i egentilstander i kvantemekanikk. Her blir dette en 
fourier-rekke (sinusrekke) av funksjonen\, $(T-T_\infty)r$\, i intervallet $-R<r<R$.]
Regn s{\aa} ut koeffisientene $a_n$. \\

(Svar: $(-1)^{n-1}2RT_0/(n\pi)$) \\

Oppgitt: 

$2\sin A \sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B)\;\;\;$ og 
$\;\;\; \int x\sin(\alpha x)\,dx= -x\cos(\alpha x)/\alpha +\sin(\alpha x)/\alpha^2$. \\


$d)$ For store tider (slik at $\exp(-D_T k_1^2 t)\ll 1$) vil leddet med $k_1$ dominere 
slik at de {\o}vrige leddene 
kan neglisjeres. Betrakt s{\aa} avkj{\o}ling av ei kule der grensebetingelsene er som under punkt $c)$. 
Anta at kula best{\aa}r vesentlig av vann (som er bundet slik at det ikke kan str{\o}mme). 
Ved hvilken tid $t=\tau$ er temperaturen i midten av kula ($r=0$) sunket til $T=0.1\,T_0+T_\infty$ 
(slik at $k_1$-leddet dominerer) n{\aa}r $R=5.0$ cm og $D_T=0.00050$ m$^2$/h for vann? \\

({\small Svar: 1 time 31 min})

\noindent
Oppgitt: $\sin x/x\rightarrow 1$ n{\aa}r $x\rightarrow 0$. \\

\newpage
\noindent
$e)$ Bestem $T(r,t)$ numerisk for $0 < r < R$ og $0 < t < t_{\rm max}$, med (f.eks.)
$t_{\rm max} = 3$ timer. Pr{\o}v deg fram n{\aa}r det gjelder hvor mange ledd du skal ta med
i fourier-rekken. Lag en animasjon som viser tidsutviklingen av
temperaturprofilen $T(r)$. Lag ogs{\aa} figurer med hhv $T(t)$ for utvalgte verdier av
posisjonen $r$ og $T(r)$ for utvalgte tidspunkter $t$. Bruk 4 - 5 kurver pr figur. \\

\noindent
Nedenfor finner du et eksempel p{\aa} hvordan man kan lage en animasjon i Matlab ved {\aa}
slette den gamle grafen og tegne en ny graf i samme figur
(ov13eksempel.m, tilgjengelig p{\aa} hjemmesiden).

\vspace{1.5cm}

\begin{verbatim}
%Tabell med tidspunkter
t=0:1:20;
%Tabell med posisjoner
r=0.00:0.01:1.00;
%Starttabell for f(r) med like mange elementer som tabellen for posisjonen r:
f = linspace(0,10,length(r));
%Neste linje setter EraseMode til xor, bra for "smooth animation", se
%http://nd.edu/~dtl/cheg258/notes/doc/tec2.5.html
p=plot(r,f,'-','EraseMode','xor');
%Sett aksegrenser [xmin xmax ymin ymax]:
axis([0 1 0 2]);
%Nodvendig med "hold on" for fortsatt bruk av samme figur:
hold on;
xlabel('Posisjonen r');
ylabel('Funksjonen f');
title('Animasjon av f(r,t)');
for i = 1 : length(t),
 for k = 1 : length(r),
  f(k) = sin(r(k)*t(i))^2;
 end
 %Plott f(r,t) for aktuelt tidspunkt:
 set(p,'XData',r,'YData',f)
 %Oppdaterer grafen i figuren:
 drawnow
 %Forsinker framvisningen i 0.2 s (juster etter behov):
 pause(0.2);
end
hold off;
\end{verbatim}



\end{document}