\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{1.0cm}

\begin{large}
{\O}ving 2
\end{large}

\end{center}

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 1} \\

$a)$ Volumutvidelseskoeffisienten $\alpha_V$ og den isoterme kompressibiliteten $\kappa_T$ er ikke konstanter, men 
varierer med tilstanden (trykk, temperatur, volum). For {\aa} avgj{\o}re hvordan de ulike koeffisientene
varierer med tilstanden, m{\aa} vi kjenne systemets tilstandsligning, men dette er ikke alltid n{\o}dvendig
for {\aa} finne ut sammenhenger mellom hvordan ulike koeffisienter varierer.
Vis at f{\o}lgende sammenheng gjelder for variasjonene med tilstanden for $\alpha_V$ og $\kappa_T$:
$$\left(\frac{\partial \alpha_V}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial\kappa_T}{\partial T}\right)_p.$$

\vspace{0.3cm}
$b)$ Hvis du lager et sirkul{\ae}rt hull med diameter 10.000 cm i en st{\aa}lplate utend{\o}rs i ti kuldegrader,
hva er hullets diameter n{\aa}r platen har akklimatisert seg inne i stua (der temperaturen er tjue varmegrader)? 
St{\aa}l har line{\ae}r utvidelseskoeffisient $\alpha_L = 1.3 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$. \\

A) 10.003 cm \hspace{4mm}
B) 10.004 cm \hspace{4mm}
C) 10.005 cm \hspace{4mm}
D) 10.006 cm \hspace{4mm}
E) 10.007 cm \hspace{4mm}
F) 10.008 cm \\

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Sammenhenger mellom tilstandsvariable, s{\aa}kalte tilstandsligninger, uttrykkes generelt p{\aa} formen
$$f(p,V,T) = 0,$$
slik at de ulike tilstandsvariable kan oppfattes som funksjoner av de to andre, $p = p(V,T)$ osv. Med andre ord,
$p$, $V$ og $T$ opptrer som b{\aa}de tilstands{\em variable} og som tilstands{\em funksjoner}. \\

$a)$ Da gjelder f.eks
$$\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{-1}_V.$$
Vis dette eksplisitt for en ideell gass. \\

$b)$ Utled den ''sykliske regel'',
$$\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \, \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_p \,
\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T = -1.$$
Tips: Ta utgangspunkt i (det totale) differensialet $dp$ n{\aa}r $p = p(T,V)$, sett $dp=0$, divider ligningen
med $dT$, og benytt sammenhengen gitt i punkt $a)$ (her for $\partial V/\partial T$).
Se ogs{\aa} kapittel 1.6 i PCH. \\

$c)$ En kobberblokk har trykket 1 atm ($= 1.013 \cdot 10^5$ Pa) ved $0^\circ$C. Blokken holdes ved konstant volum
mens den varmes opp. Hva blir {\o}kningen i trykket pr grad temperatur{\o}kning n{\aa}r volumutvidelseskoeffisienten er
$\alpha_V = 48.5\cdot10^{-6}\,{\rm K}^{-1}$ og isoterm kompressibilitet er $\kappa_T = 7.7\cdot10^{-12}\,{\rm Pa}^{-1}$?
Tips: Benytt den sykliske regel fra $b)$. \\

A) 22 atm \hspace{4mm}
B) 32 atm \hspace{4mm}
C) 42 atm \hspace{4mm}
D) 52 atm \hspace{4mm}
E) 62 atm \hspace{4mm}
F) 72 atm \\

\newpage

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 3} \\

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
$a)$ I et termodynamisk system foreg{\aa}r en tilstandsforandring fra a til b langs en vei acb (se figur). Under denne 
tilstandsforandringen opptar systemet 80\,J varme samtidig som systemet utf{\o}rer et arbeid p{\aa} 30\,J. Hvor stor varmemengde 
mottar systemet langs veien adb n{\aa}r det utf{\o}rte arbeidet i dette tilfellet er 10\,J?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.2in \epsfbox{pVdiagram.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}

A) 30 J  \hspace{4mm}
B) 40 J  \hspace{4mm}
C) 50 J  \hspace{4mm}
D) 60 J  \hspace{4mm}
E) 70 J  \hspace{4mm}
F) 80 J  \\

$b)$ Systemet g{\aa}r s{\aa} tilbake fra tilstand b til utgangspunktet a langs den krumme banen p{\aa} figuren. Under denne 
prosessen mottar systemet et arbeid p{\aa} 20\,J. Vil systemet motta (+) eller avgi (-) varme under denne prosessen, 
og i tilfelle hvor mye? \\

A) -50 J \hspace{4mm}
B) -70 J \hspace{4mm}
C) -90 J \hspace{4mm}
D) +50 J \hspace{4mm}
E) +70 J \hspace{4mm}
F) +90 J \\

$c)$ Hva er de mottatte varmemengdene under prosessene ad og db n{\aa}r $U_a=0$ og $U_d=40$ J? \\

A) $Q_{ad}=40$ J, $Q_{db}=10$ J  \hspace{5mm}
B) $Q_{ad}=40$ J, $Q_{db}=20$ J  \hspace{5mm}
C) $Q_{ad}=40$ J, $Q_{db}=30$ J  \\
D) $Q_{ad}=50$ J, $Q_{db}=10$ J  \hspace{5mm}
E) $Q_{ad}=50$ J, $Q_{db}=20$ J  \hspace{5mm}
F) $Q_{ad}=50$ J, $Q_{db}=30$ J  \\

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 4} \\
To mol av en ideell gass har temperaturen 300\,K. Gassen ekspanderer isotermt til to ganger sitt opprinnelige volum. 
Hva er $a)$ arbeidet gassen gj{\o}r, $b)$ endring i gassens indre energi, 
og $c)$ n{\o}dvendig varme tilf{\o}rt? \\ 

$a)$ \\
A) $W=0$ kJ \hspace{2mm}
B) $W=0.46$ kJ \hspace{2mm}
C) $W=1.46$ kJ \hspace{2mm}
D) $W=2.46$ kJ \hspace{2mm}
E) $W=3.46$ kJ \hspace{2mm}
F) $W=4.46$ kJ \\

$b)$ \\
A) $\Delta U=0$ kJ \hspace{3mm}
B) $\Delta U=0.46$ kJ \hspace{3mm}
C) $\Delta U=1.46$ kJ \\
D) $\Delta U=2.46$ kJ \hspace{3mm}
E) $\Delta U=3.46$ kJ \hspace{3mm}
F) $\Delta U=4.46$ kJ \\

$c)$ \\
A) $Q=0$ kJ \hspace{2mm}
B) $Q=0.46$ kJ \hspace{2mm}
C) $Q=1.46$ kJ \hspace{2mm}
D) $Q=2.46$ kJ \hspace{2mm}
E) $Q=3.46$ kJ \hspace{2mm}
F) $Q=4.46$ kJ \\

\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 5} \\

En ideell gass er innesluttet i en sylinder med et tettsluttende stempel. Trykket er $p_1$ og volumet er $V_1$. Gassen varmes 
f{\o}rst ved konstant volum slik at temperaturen dobles. Deretter avkj{\o}les den ved konstant trykk inntil den har f{\aa}tt 
sin opprinnelige temperatur. Hva er arbeidet gjort p{\aa} gassen i denne prosessen? \\
Tips: Tegn prosessen i et $pV$-diagram. \\

A) $-p_1 V_1$ \hspace{4mm}
B) $p_1 V_1$ \hspace{4mm}
C) $-2p_1 V_1$ \hspace{4mm}
D) $2p_1 V_1$ \hspace{4mm}
E) $-3p_1 V_1$ \hspace{4mm}
F) $3p_1 V_1$ \\


\end{document}