\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 3
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

I l{\o}pet av et tidsrom $dt$ mottar motstanden energimengden $P\,dt$. Denne
energien dissiperes i motstanden, som dermed varmes opp (''Joule heating''),
dvs $\dbar Q = P\,dt$. Samtidig er $\dbar Q = C_p \, dT$, slik at
$$C_p = P \, \frac{dt}{dT} = \frac{P}{dT/dt}.$$
Derivasjon av den oppgitte $T(t)$ gir
$$\frac{dT}{dt} = \frac{T_0 a}{4[1+a(t-t_0)]^{3/4}} = 
\frac{T_0^4 a/4}{T_0^3[1+a(t-t_0)]^{3/4}} = \frac{T_0 a}{4}
\frac{T_0^3}{T^3},$$
slik at varmekapasiteten, som funksjon av temperaturen, blir
$$C_p = \frac{4P}{aT_0} \left( \frac{T}{T_0} \right)^3,$$
dvs proporsjonal med $T^3$, typisk temperaturavhengighet til
varmekapasiteten for faste stoffer ved lave temperaturer.
Dette kan du l{\ae}re mer om i emnet Faste stoffers fysikk. \\

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Fra definisjonen av energienheten cal (kalori) har vi direkte at $c_p = 1$ cal/gK for vann.
Luft best{\aa}r nesten utelukkende av 2-atomige molekyler, og gjennomsnittlig molar
masse er ca 29 g/mol. Dermed er (med $R=8.314$ i enheten J/mol K)
$c_p = (7R/2)/(29 \cdot 4.184)$ cal/gK = 0.24 cal/gK for luft.
Molar varmekapasitet for metaller er ca $3R$, s{\aa} med molar masse 55.9 g/mol
har vi $c_p \simeq 3R/(55.9 \cdot 4.184)$ cal/gK = 0.11 cal/gK for jern.
Med andre ord, $c_p({\rm vann}) \simeq 4 c_p({\rm luft}) \simeq 9 c_p({\rm jern})$. \\

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 3} \\

Siden prosessen antas {\aa} v{\ae}re adiabatisk og reversibel, kan adiabatligningene for
ideell gass benyttes. Her har vi bruk for
$$p T^{-\gamma/(\gamma-1)} = {\rm konstant},$$
eventuelt
$$T p^{-\kappa} = T_0 p_0^{-\kappa}, \;\;\; {\rm dvs} \;\;\;
T = T_0\, \left(\frac{p}{p_0}\right)^\kappa,$$
med $\kappa = (\gamma-1)/\gamma$. Her er trykkdifferansen $\Delta p = p - p_0$ liten
(i forhold til $p_0$), slik at temperaturendringen $\Delta T = T - T_0$ blir
\begin{eqnarray*}
\Delta T &=& T-T_0 = T_0 \left[ \left(\frac{p}{p_0}\right)^\kappa - 1\right] \\
&=& T_0 \left[ \left(\frac{p_0+\Delta p}{p_0}\right)^\kappa - 1\right] \\
&=& T_0 \left[ \left(1+\frac{\Delta p}{p_0}\right)^\kappa -1 \right] \\
&\simeq& T_0 \cdot \kappa \cdot \frac{\Delta p}{p_0},
\end{eqnarray*}
der vi har rekkeutviklet til laveste orden i den lille st{\o}rrelsen $\Delta p/p_0$.
(Dette er selvsagt ikke p{\aa}krevd; en kan godt bare sette inn tallverdier og
trykke i vei p{\aa} kalkulatoren.) Med $\gamma = 7/5$ for luft blir $\kappa = 2/7$, slik at
$$\Delta T \simeq 293 \cdot \frac{2}{7} \cdot \left(\frac{-8.9}{760}\right) \, {\rm K}
\simeq -1 {\rm K}.$$
Her har vi brukt at 1 atm = 760 mm Hg.

Siden st{\o}rrelsen $pV^\gamma$ er konstant for adiabater i en ideell gass, er det klart
at lufta vil utvide seg n{\aa}r trykket reduseres. Kvantitativt:
$$V/V_0 = (T/T_0)\cdot(p_0/p) \simeq (292/293)\cdot(760/751) \simeq 1.01,$$
dvs utvidelse med omtrent 1\%. \\

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 4} \\

For ideell gass har vi adiabatligningene $pV^\gamma =$ konst og $TV^{\gamma-1} =$ konst.
Slutt-trykket blir derfor lik
$$p = p_0 \left(\frac{V_0}{V} \right)^\gamma = 1 \, {\rm atm} \cdot 18^{1.4} = 57.2 \, {\rm atm},$$
mens slutt-temperaturen blir (med $T_0 = 17^\circ$C = 290 K)
$$T = T_0 \left(\frac{V_0}{V} \right)^{\gamma-1} = 290 \, {\rm K} \cdot 18^{0.4} = 922 \, {\rm K} 
= 649^\circ{\rm C}.$$
Her er ingen varme utvekslet med omgivelsene, slik at arbeidet tilsvarer endringen i indre energi:
$Q = \Delta U + W = 0$. Vi kan n{\aa} g{\aa} fram p{\aa} to m{\aa}ter for {\aa} bestemme arbeidet 
utf{\o}rt p{\aa} gassen: Enten direkte ved {\aa} integrere $p(V)\,dV$, eller ved {\aa} regne ut
endringen i indre energi, $\Delta U$. La oss gj{\o}re det p{\aa} begge vis!

Direkte utregning:
$$W = \int_V^{V_0} p(V)\,dV = p_0 \int_V^{V_0} \left(\frac{V_0}{V}\right)^\gamma dV =
\frac{p_0 V_0}{\gamma-1}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma-1}-1\right] =
\frac{p_0 V_0}{\gamma-1}\left(\frac{T}{T_0}-1\right) = 0.44 \, {\rm kJ}.$$

\vspace{0.2cm}
Endring i indre energi:

Vi vet at $U$ er en tilstandsfunksjon, og vi kjenner her b{\aa}de start- og slutt-tilstand (b{\aa}de
trykk, volum og temperatur). Da kan vi bestemme $\Delta U$ p{\aa} den m{\aa}ten som passer oss best,
dvs det spiller ingen rolle hva slags prosess (her: adiabatisk) som faktisk tok systemet fra
start- til slutt-tilstand.

Vi vet videre at endringen i indre energi inng{\aa}r i uttrykket for varmekapasiteten ved konstant volum,
$C_V = (\partial U/\partial T)_V$. Dermed, hvis vi kjenner $C_V(T)$, kan vi bestemme $\Delta U$ ved
{\aa} integrere $dU = C_V \, dT$.

Her er det klart at $C_V$ er en konstant: Med $C_p - C_V = nR$ og $C_p/C_V = \gamma$ har vi
$C_V = nR/(\gamma-1) = 5nR/2$. Dermed er
$$|W| = \Delta U = C_V (T-T_0) = \frac{5}{2}nR(T-T_0) = \frac{5}{2} p_0 V_0
\left( \frac{T}{T_0} - 1\right) = 2.5 \cdot 1.013\cdot10^5 \cdot 0.80 \cdot 10^{-3} \cdot
\left(\frac{922}{290}-1\right) = 0.44 \, {\rm kJ}.$$
Samme svar med begge metoder!

\newpage
\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 5} \\

Vi sammenligner $V_g$ med $\Delta V_f$:
$$\frac{V_g}{V_g-V_l} = (1 - V_l/V_g)^{-1} \simeq 1 + V_l/V_g.$$
La oss f.eks se p{\aa} 1 kg vann, dvs 1 L, dvs $V_l = 10^{-3}$ m$^3$. Ideell gass
tilstandsligning gir, for 1 kg vanndamp,
$$V_g = nRT/p = (1000 \, {\rm g}/18\,{\rm g/mol}) \cdot (8.314 \, {\rm J/mol}\cdot{\rm K})
\cdot 373 \, {\rm K}/1.013\cdot10^5\,{\rm Pa} \simeq 1.7 \, {\rm m}^3,$$
slik at feilen vi gj{\o}r er ikke st{\o}rre enn ca 0.06\%. Dette vil gjelde temmelig
generelt: Ved omdanning av en viss mengde fast stoff eller v{\ae}ske til gass vil
volumendringen som regel v{\ae}re praktisk talt lik gassens volum. 

Arbeidet mot det ytre trykket skjer ved konstant trykk, slik at dette blir
$$W = \int_{V_l}^{V_g} p\,dV = p(V_g-V_l) \simeq pV_g,$$
der vi kunne neglisjere volumet av vann, $V_l$, i forhold til volumet av vanndamp, $V_g$. 
Videre kan dampen med god tiln{\ae}rmelse betraktes som en ideell gass, dvs
$pV_g = nRT$. For $n$ mol er fordampingsvarmen $nL$. Andelen av fordampingsvarmen som 
g{\aa}r med til arbeid mot det ytre trykket blir derfor (med $T = 100^\circ$C = 373 K)
$$\frac{W}{nL} = \frac{nRT}{nL} = \frac{RT}{L} = \frac{8.314\cdot373}{40.7\cdot10^3} =
0.076 = 7.6\%.$$


\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 6} \\

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$a)$ Jernbanen i Norge er ca 4000 km lang. Omtrent hvor mye lenger er den
om sommeren enn om vinteren? Anta en temperaturforskjell p{\aa} 20 grader.
Lengdeutvidelseskoeffisienten for st{\aa}l er $1.1 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$. \\

$\alpha = (\Delta L/L)/\Delta T \;\; \Rightarrow \;\;
\Delta L = \alpha L \Delta T = 1.1 \cdot 10^{-5} \cdot 4000 \cdot 20 \simeq 0.88 \; {\rm km}.$

D) 0.88 km

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$b)$ Hva er et rimelig estimat for antall molekyler i lufta p{\aa} soverommet ditt?
Anta 3 m $\times$ 3 m $\times$ 2.4 m. \\

$V = 21.6$ m$^3$, slik at $N = pV/k_B T \simeq 10^5 \cdot 21.6/(1.38\cdot10^{-23}
\cdot300) \simeq 5 \cdot 10^{26}.$

B) $5 \cdot 10^{26}$

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{fig29.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
$c)$ Figuren viser en reversibel kretsprosess for en ideell gass, best{\aa}ende av en isobar,
en isokor og en isentropisk (adiabatisk) prosess. Ranger temperaturene $T_a$, $T_b$
og $T_c$ i de tre hj{\o}rnene merket hhv $a$, $b$ og $c$. \\

Adiabat brattere enn isoterm, dvs $T_b < T_c$. Videre er $T_a$ {\aa}penbart minst. \\

D) $T_a < T_b < T_c$
\end{minipage}

\end{document}