\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{hyperref}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 4
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

%%For enatomig gass har vi $c_{pm}=5R/2$ og $c_{Vm}=3R/2$, slik at $\gamma = C_p/C_V = 5/3$.
Langs adiabaten er det (pr definisjon) ingen varmeutveksling med omgivelsene, $Q_{ab}=0$.
Fra c til a er volumet konstant slik at det ikke utf{\o}res noe arbeid, $W_{ca}=0$. Trykket
{\o}kes, som betyr at temperaturen ogs{\aa} {\o}ker. Alts{\aa} {\o}ker gassens indre energi
fra c til a, og denne energien m{\aa} da komme fra tilf{\o}rt varme, dvs $Q_{ca}>0$.
Fra b til c komprimeres gassen (til halvt volum) ved konstant trykk ($p_c = p_b$). Det betyr
at gassen har utf{\o}rt et negativt arbeid p{\aa} omgivelsene, $W_{bc}<0$. Det er videre klart
at temperaturen i c er lavere enn i b, siden produktet $pV$ er mindre i c enn i b (halvparten
s{\aa} stort). F{\o}lgelig er indre energi redusert fra b til c, og det er klart at
$Q_{bc} = \Delta U_{bc} + W_{bc} < 0$, dvs varme avgitt til omgivelsene. \\

Virkningsgraden er pr definisjon lik forholdet mellom netto utf{\o}rt arbeid $W$ og
tilf{\o}rt varme $Q_{ca}$,
$$\eta = \frac{W}{Q_{ca}} = \frac{Q_{ca} + Q_{bc}}{Q_{ca}},$$
der vi i siste overgang benyttet oss av at indre energi er en tilstandsfunksjon, slik at
netto utf{\o}rt arbeid tilsvarer netto tilf{\o}rt varme. Her tilf{\o}res og avgis varme ved
hhv konstant volum og konstant trykk, s{\aa} vi har direkte
\begin{eqnarray*}
Q_{ca} &=& C_V (T_a - T_c) = \frac{3}{2}nR (T_a - T_c), \\
Q_{bc} &=& C_p (T_c - T_b) = -\frac{5}{2}nR (T_b - T_c). 
\end{eqnarray*}
Vi har allerede sl{\aa}tt fast at $p_b V_b = 2 p_c V_c$ slik at $T_b = 2 T_c$.
Langs adiabaten har vi
$$T_a V_a^{\gamma-1} = T_b V_b^{\gamma-1} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
T_a = T_b \left( \frac{V_b}{V_a}\right)^{\gamma-1} = 2^{\gamma-1} \, T_b,$$
dvs $T_a = 2^\gamma T_c$. Virkningsgraden blir f{\o}lgelig
$$\eta = 1 + \frac{Q_{bc}}{Q_{ca}} = 1 - \frac{5}{3} \frac{T_b-T_c}{T_a-T_c} =
1 - \frac{5}{3} \frac{T_b/T_c-1}{T_a/T_c-1} = 1 - \frac{5}{3} \frac{2-1}{2^{5/3}-1}
\simeq 0.23.$$
En Carnotmaskin som opererer mellom et varmt reservoar med temperatur $T_a$ og et kaldt
reservoar med temperatur $T_c$ ville ha virkningsgraden
$$\eta_C = 1 - T_c/T_a = 1 - 2^{-5/3} \simeq 0.69,$$
som alts{\aa} er maksimal teoretisk virkningsgrad. \\

Som nevnt i oppgaveteksten kan arbeidet bestemmes ved {\aa} integrere $p(V) dV$. Langs
adiabaten m{\aa} en da benytte seg av at $p V^\gamma$ er konstant. Fra b til c blir
arbeidet ganske enkelt $p_b (V_a - V_b)$. Dette gir totalt arbeid uttrykt ved $p_b V_b$,
som med ideell gass tilstandsligning kan erstattes med $nR T_b$, og her kan $nR$ uttrykkes
ved $\gamma$ og $C_V$. Men tilf{\o}rt varme vil, som ovenfor, i utgangspunktet v{\ae}re
uttrykt ved $T_a$ og $T_c$, s{\aa} en kommer ikke utenom {\aa} uttrykke disse ved $T_b$,
slik vi gjorde ovenfor. \\

\newpage
\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Kraftverkets virkningsgrad er
$$\eta = \frac{W}{Q_2} = \frac{W}{|Q_1|+W},$$
der $Q_1$ er avgitt varme som dumpes i elva. Oppgaven ettersp{\o}r {\em effekter}, dvs
energier pr tidsenhet, s{\aa} la oss si at $Q$ og $W$ angir hhv varme og elektrisk
energi (arbeid) pr tidsenhet, dvs varmeeffekt og elektrisk effekt. Vi l{\o}ser ligningen ovenfor
med hensyn p{\aa} $W$ og finner at kraftverket maksimalt kan levere en elektrisk effekt
$$W = \frac{\eta}{1-\eta} \, |Q_1| = \frac{0.4}{0.6} \cdot 1500 \, {\rm MW} = 1000\,{\rm MW}.$$
Dette krever tilf{\o}rsel av en varmeeffekt
$$Q_2 = W + |Q_1| = 2500\,{\rm MW}.$$
Vannets spesifikke varmekapasitet kan skrives som
$$c = \frac{|Q_1|}{\Delta T \cdot M},$$
og hvis $|Q_1|$ her representerer varme pr tidsenhet, med enheten J/s, m{\aa}
$M$ tilsvare forbipassert masse vann pr tidsenhet, med enheten kg/s. N{\o}dvendig
vannf{\o}ring for {\aa} begrense $\Delta T$ til 5 K blir derfor
$$M = \frac{|Q_1|}{c \cdot \Delta T} = \frac{1500\cdot10^6\,{\rm J/s}}
{4184\,{\rm J/kg K} \cdot 5\,{\rm K}} \simeq 71.7\cdot10^3\,{\rm kg/s}
\simeq 72\,{\rm tonn/s}.$$

\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 3} \\

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$a)$ 

$\varepsilon_K = |Q_1/W| = |Q_1/(Q_1+Q_2)|$. Vi bruker at $Q_1/T_1 + Q_2/T_2 = 0$,
dvs $Q_2 = -Q_1 T_2/T_1$, som innsatt i uttrykket for $\varepsilon_K$ gir
$\varepsilon_K = |T_1/(T_1-T_2)| = 277/9 \simeq 31.$

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{fig31.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
$b)$ 

$W = 4p_0 \cdot 5V_0 = 20 \cdot 10^5 \cdot 5 \cdot 10^{-3} = 10^4 = 10 \, {\rm kJ}.$

\end{minipage}

\newpage

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$c)$ 

$T_a$ er minst, $T_c$ er st{\o}rst. Siden $T$ er proporsjonal med $pV$, er
$T_b/T_d = p_b V_b/p_d V_d = 5/6$, dvs $T_b < T_d$. \\

B) $T_a < T_b < T_d < T_c$


\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$d)$ 

Siden $p_b V_b = 5p_0 V_0$, har vi her en isoterm ekspansjon fra tilstand $b$
til en tilstand med trykk $p_0$ og volum $5V_0$. Arbeidet blir dermed
\begin{eqnarray*}
W &=& \int_{V_0}^{5V_0} p\,dV - 4 p_0 V_0 =
\int_{V_0}^{5V_0} \frac{5p_0 V_0}{V}dV - 4p_0 V_0 \\
&=& 5p_0 V_0 \ln 5 - 4 p_0 V_0 = 500 \cdot (5\ln5-4) \\
&\simeq& 2.0 \cdot 10^3 = 2.0 \,{\rm kJ}
\end{eqnarray*}


\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{fig36.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
$e)$ 

I denne syklusen er $T_3$ maksimal og $T_1$ minimal temperatur. Hvis dette hadde
v{\ae}rt en Carnotprosess mellom to varmereservoar ved temperaturer $T_3$ og $T_1$,
ville virkningsgraden ha v{\ae}rt
$\eta_C = 1-T_1/T_3$. Otto-syklusen kan ikke ha s{\aa} stor virkningsgrad, slik at
$\eta_O < \eta_C$. ($\eta_O = 1 - T_4/T_3$.) \\

A) $\eta_O < 1 - T_1/T_3$
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$f)$ 

$\Delta U = 0$ for hel syklus, slik at
$$W = Q_{23}+Q_{41} = C_V(T_3-T_2) + C_V(T_1-T_4) = C_V(T_1-T_2+T_3-T_4).$$

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$g)$ Gassen utvider seg, s{\aa} omdanning av varme til arbeid er ikke
det eneste som skjer. Derfor er prosessen ikke i strid med 2.\ lov. B).

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}

\newpage
%\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 4} \\

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{otto.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

For {\aa} bestemme virkningsgraden trenger vi uttrykk for tilf{\o}rt varme $Q_1$ ved
lav-volum-isokoren $V_1$ og avgitt varme $Q_2$ ved h{\o}y-volum-isokoren $V_2 = \kappa V_1$.
Siden prosessene er isokore, dvs konstant volum, blir de to varmemengdene
$$Q_1 = C_V (T_3-T_2)$$
og
$$Q_2 = C_V (T_1-T_4).$$
Her er $T_3$ og $T_2$ hhv h{\o}y og lav temperatur for isokoren med volum $V_1$, mens
$T_4$ og $T_1$ er h{\o}y og lav temperatur for isokoren med volum $V_2$.
Adiabatligningen $T V^{\gamma - 1} =$ konstant knytter temperaturene sammen:
$$T_1 (\kappa V_1)^{\gamma-1} = T_2 V_1^{\gamma-1}$$
og
$$T_4 (\kappa V_1)^{\gamma-1} = T_3 V_1^{\gamma-1}.$$
Virkningsgraden er
$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1+Q_2}{Q_1} =
\frac{T_3-T_2+T_1-T_4}{T_3-T_2}.$$
Her kan (f.eks) $T_2$ og $T_3$ elimineres via adiabatligningene ovenfor, og vi finner
\begin{eqnarray*}
\eta &=& \frac{(T_4-T_1)(\kappa^{\gamma-1}-1)}{(T_4-T_1)\kappa^{\gamma-1}} \\
&=& 1 - \kappa^{1-\gamma}.
\end{eqnarray*}


\end{document}