\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 6
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$a)$ Et ideelt ''Carnot-kj{\o}leskap'' holder konstant temperatur 4$^\circ$C
(''lavtemperaturreservoaret'') i et kjellerrom der temperaturen er 13$^\circ$C
(''h{\o}ytemperaturreservoaret''). Hva er kj{\o}leskapets effektfaktor, dvs
forholdet mellom varmen som trekkes ut av kj{\o}leskapet og arbeidet som
kj{\o}leskapets motor m{\aa} utf{\o}re? (Tips: For syklisk reversibel prosess
er $\Delta S = 0$ og $\Delta U = 0$.) \\

$\varepsilon_K = |Q_1/W| = |Q_1/(Q_1+Q_2)|$. Vi bruker at $Q_1/T_1 + Q_2/T_2 = 0$,
dvs $Q_2 = -Q_1 T_2/T_1$, som innsatt i uttrykket for $\varepsilon_K$ gir
$\varepsilon_K = |T_1/(T_1-T_2)| = 277/9 \simeq 31.$

D) Ca 31

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{fig31.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
$b)$ Figuren viser en kretsprosess for et mol ideell gass, med $p_0 = 1$ atm
og $V_0 = 5$ L. Omlag hvor stort arbeid utf{\o}rer gassen pr syklus? \\

$W = 4p_0 \cdot 5V_0 = 20 \cdot 10^5 \cdot 5 \cdot 10^{-3} = 10^4 = 10 \, {\rm kJ}.$

C) 10 kJ
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$c)$ Ranger temperaturene i de fire hj{\o}rnene av kretsprosessen i oppgave $b$. \\

$T_a$ er minst, $T_c$ er st{\o}rst. Siden $T$ er proporsjonal med $pV$, er
$T_b/T_d = p_b V_b/p_d V_d = 5/6$, dvs $T_b < T_d$. \\

B) $T_a < T_b < T_d < T_c$


\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$d)$ Dersom gassen i oppgave $b$ hadde ekspandert isotermt fra tilstand $b$
til en tilstand med trykk $p_0$, og deretter blitt komprimert ved konstant
trykk tilbake til tilstand $a$ og s{\aa} varmet opp ved konstant volum til tilstand $b$ osv,
omtrent hvor stort arbeid ville gassen da ha utf{\o}rt pr syklus? \\

Siden $p_b V_b = 5p_0 V_0$, har vi her en isoterm ekspansjon fra tilstand $b$
til en tilstand med trykk $p_0$ og volum $5V_0$. Arbeidet blir dermed
\begin{eqnarray*}
W &=& \int_{V_0}^{5V_0} p\,dV - 4 p_0 V_0 =
\int_{V_0}^{5V_0} \frac{5p_0 V_0}{V}dV - 4p_0 V_0 \\
&=& 5p_0 V_0 \ln 5 - 4 p_0 V_0 = 500 \cdot (5\ln5-4) \\
&\simeq& 2.0 \cdot 10^3 = 2.0 \,{\rm kJ}
\end{eqnarray*}

C)  2.0 kJ


\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{fig36.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
$e)$ Figuren viser en Otto--syklus, dvs en reversibel idealisering av en
4--takts bensinmotor. Temperaturen i hj{\o}rnene 1 -- 4 er  hhv $T_1$ -- $T_4$.
Hva kan du si om virkningsgraden $\eta_O$ til denne prosessen, i forhold til
st{\o}rrelsen $1 - T_1/T_3$? (Tips: $T_1$ og $T_3$ er hhv prosessens minimale
og maksimale temperatur.) \\

I denne syklusen er $T_3$ maksimal og $T_1$ minimal temperatur. Hvis dette hadde
v{\ae}rt en Carnot-prosess mellom to varmereservoar ved temperaturer $T_3$ og $T_1$,
ville virkningsgraden ha v{\ae}rt
$\eta_C = 1-T_1/T_3$. Otto-syklusen kan ikke ha s{\aa} stor virkningsgrad, slik at
$\eta_O < \eta_C$. ($\eta_O = 1 - T_4/T_3$.) \\

A) $\eta_O < 1 - T_1/T_3$
\end{minipage}

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$f)$ Bensin/luft--blandingen i oppgave $e$ har varmekapasitet $C_V$ (ved konstant volum).
Hva blir da arbeidet utf{\o}rt av bensin/luft--blandingen pr syklus av Otto--prosessen? \\

$\Delta U = 0$ for hel syklus, slik at
$$W = Q_{23}+Q_{41} = C_V(T_3-T_2) + C_V(T_1-T_4) = C_V(T_1-T_2+T_3-T_4).$$

C)  $C_V(T_1-T_2+T_3-T_4)$

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$g)$ Gassen utvider seg, s{\aa} omdanning av varme til arbeid er ikke
det eneste som skjer. Derfor er prosessen ikke i strid med 2.\ lov. B).

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}


\newpage
%\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 2} \\

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{otto.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

For {\aa} bestemme virkningsgraden trenger vi uttrykk for tilf{\o}rt varme $Q_1$ ved
lav-volum-isokoren $V_1$ og avgitt varme $Q_2$ ved h{\o}y-volum-isokoren $V_2 = \kappa V_1$.
Siden prosessene er isokore, dvs konstant volum, blir de to varmemengdene
$$Q_1 = C_V (T_3-T_2)$$
og
$$Q_2 = C_V (T_1-T_4).$$
Her er $T_3$ og $T_2$ hhv h{\o}y og lav temperatur for isokoren med volum $V_1$, mens
$T_4$ og $T_1$ er h{\o}y og lav temperatur for isokoren med volum $V_2$.
Adiabatligningen $T V^{\gamma - 1} =$ konstant knytter temperaturene sammen:
$$T_1 (\kappa V_1)^{\gamma-1} = T_2 V_1^{\gamma-1}$$
og
$$T_4 (\kappa V_1)^{\gamma-1} = T_3 V_1^{\gamma-1}.$$
Virkningsgraden er
$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1+Q_2}{Q_1} =
\frac{T_3-T_2+T_1-T_4}{T_3-T_2}.$$
Her kan (f.eks) $T_2$ og $T_3$ elimineres via adiabatligningene ovenfor, og vi finner
\begin{eqnarray*}
\eta &=& \frac{(T_4-T_1)(\kappa^{\gamma-1}-1)}{(T_4-T_1)\kappa^{\gamma-1}} \\
&=& 1 - \kappa^{1-\gamma}.
\end{eqnarray*}


\newpage
%\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 3} \\

For en reversibel kretsprosess vil entropien v{\ae}re uendret. (Hvis prosessen er irreversibel,
vil entropien {\o}ke.) Varmemengdene $Q_3$ og $Q_1$ tilf{\o}res systemet hhv ved temperaturene
$T_3$ og $T_1$. Dernest avgis varmen $Q_2$ ved omgivelsenes temperatur $T_2$.
Energibevarelse gir
$$Q_2 = Q_1 + Q_3.$$
Uendret entropi inneb{\ae}rer da at
$$0 = \sum_i \Delta S_i = \frac{Q_3}{T_3} + \frac{Q_1}{T_1} - \frac{Q_2}{T_2},$$
dvs
$$\frac{Q_3}{T_3} + \frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_1+Q_3}{T_2},$$
eller
$$Q_1 \left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) = Q_3 \left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_3}\right).$$
Maksimal virkningsgrad er derfor
$$\varepsilon_K = \frac{Q_1}{Q_3} = \frac{T_1(T_3-T_2)}{T_3(T_2-T_1)}.$$

\vspace{0.3cm}
En alternativ framgangsm{\aa}te er som f{\o}lger: Prosessen kan ses p{\aa} som en
Carnotmaskin som opererer mellom temperaturene $T_3$ og $T_2$ kombinert med en
kj{\o}lemaskin som opererer mellom $T_1$ og $T_2$. Dermed:
$$\varepsilon_K = \frac{Q_1}{Q_3} = \frac{W}{Q_3} \cdot \frac{Q_1}{W} = \frac{T_3-T_2}{T_3} \cdot
\frac{T_1}{T_2-T_1} = \frac{T_1(T_3-T_2)}{T_3(T_2-T_1)}.$$


Oppgitte temperaturverdier gir teoretisk virkningsgrad
$$\varepsilon_K = \frac{277 \cdot (373-293)}{373 \cdot (293-277)} = 3.7.$$
Til sammenligning vil et ideelt Carnot-kj{\o}leskap som opererer mellom
temperaturene 277 K (inni kj{\o}leskapet) og 293 K (omgivelsene) ha en
virkningsgrad $\varepsilon_K = 277/(293-277) = 17$. I praksis vil
irreversible prosesser gi betydelig lavere virkningsgrader enn dette. \\

Kommentar: Kj{\o}lemediets temperatur $T_1$ (n{\aa}r det passerer inni kj{\o}lerommet)
er nok i virkeligheten en god del lavere enn temperaturen i selve kj{\o}lerommet,
kanskje ned mot ti kuldegrader eller mer.
Dette vil gi en betydelig mindre virkningsgrad enn beregnet ovenfor.


\end{document}