\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

Veiledning: 3.\ og 6.\ februar. Innleveringsfrist: Fredag 7.\ februar kl 16.

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 4
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 1} \\

\begin{minipage}{0.55\textwidth}
En viss mengde enatomig ideell gass gjennoml{\o}per kretsprosessen vist 
p{\aa} figuren. Hva er adiabatkonstanten for en slik gass? Langs hvilke deler av
kretsprosessen tilf{\o}res og fjernes varme fra gassen?
Beregn virkningsgraden $\eta$. [Hint: Det kan forenkle litt 
{\aa} beregne temperaturene i punktene a, b og c i forhold til hverandre. Da kan en 
unng{\aa} beregning av arbeid. Alternativt kan arbeidet bestemmes ved integrasjon.] 
Hva er, for sammenligningens skyld, virkningsgraden $\eta_C$ for en Carnot-varmekraftmaskin 
som arbeider mellom to reservoar med temperaturer lik henholdsvis den st{\o}rste og den 
minste temperatur som opptrer i prosessen i figuren? [Som nevnt i forelesningene, er $\eta_C$ den
{\em maksimale} virkningsgraden for en varmekraftmaskin som opererer mellom to gitte temperaturer.]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{ov4_oppg1.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}

\vspace{2.0cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Ei elv skal brukes som lavtemperaturreservoar for et stort varmekraftverk med virkningsgrad $\eta=0.40$. 
Av {\o}kologiske grunner begrenses varmen som dumpes i elva til 1500 MW. Hva er den maksimale elektriske effekten 
kraftverket kan levere, og hva er tilf{\o}rt varmeenergi som da trengs for {\aa} drive kraftverket?
Hvor stor vannf{\o}ring, f.eks i enheten tonn/s, trengs dersom temperaturstigningen i elva skal begrenses til 5 K? 
(Vannets varmekapasitet er 1 cal/gK.)\\

\vspace{0.7cm}
{\bf Oppgave 3} \\

$a)$ Bruk Maxwells hastighetskomponentfordeling $g(v_x)$ (se forelesningene) til {\aa} beregne
$\langle |v_x| \rangle$, $\langle v_x^3 \rangle$ og $\langle v_x^4 \rangle$.  \\

$b)$ Beregn middelverdien av invers fart, $\langle 1/v \rangle$,
og sammenlign med den inverse av $\langle v \rangle$. \\

\newpage

%\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 4} \\

Minste hastighet $V$ for {\aa} unnslippe gravitasjonsfeltet til en planet med masse $m$ og
radius $r$ er $V = \sqrt{2Gm/r}$, der $G$ er gravitasjonskonstanten. La oss anta at molekylene
i planetens atmosf{\ae}re b{\o}r ha en ''rms-hastighet'', dvs $v_{\rm rms} = \sqrt{\langle v^2
\rangle}$, som er mindre enn $V/6$ dersom de p{\aa} lang sikt (f.eks noen millioner {\aa}r)
ikke skal forsvinne ut i verdensrommet. \\

$a)$ Vis at planetens overflatetemperatur da m{\aa} oppfylle betingelsen
$T < GMm/54Rr$ for at molekyler med molar masse $M$ ikke skal forsvinne fra planetens
atmosf{\ae}re. Her er $R$ gasskonstanten. \\

$b)$ Bruk ulikheten i spm $a$ til {\aa} vurdere muligheten for {\aa} finne hydrogen i 
atmosf{\ae}ren til jorda og jupiter. Er ulikheten konsistent med at jordas atmosf{\ae}re
er rik p{\aa} nitrogen og oksygen? Hva med frav{\ae}ret av atmosf{\ae}re p{\aa} m{\aa}nen?

[Jordas masse: $6.0\cdot10^{24}$ kg. Jordas radius: $6.4\cdot10^6$ m. Jupiters masse:
$1.9\cdot10^{27}$ kg. Jupiters radius: $7.2\cdot10^7$ m. M{\aa}nens masse: $7.4\cdot10^{22}$ kg.
M{\aa}nens radius: $1.7\cdot10^6$ m. Molare masser for H$_2$, N$_2$, O$_2$: 2 g, 28 g, 32 g.
Gasskonstanten: $R = 8.314$ J/mol K. Gravitasjonskonstanten: $G = 6.67\cdot10^{-11}$
Nm$^2$/kg$^2$.] \\


%\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 5} \\

Et elektron har kvantisert magnetisk moment 
$$\bold{\mu} = - \frac{e}{m_e}\,\bold{S}.$$ 
Her er $-e$, $m_e$ og $\bold{S}$ hhv ladningen, massen og spinnet til elektronet. 
I et ytre magnetfelt $\bold{B} = B\,\hat{z}$ vil elektronspinnets komponent $S_z$
i magnetfeltets retning kun ha to mulige verdier, $\pm \hbar/2$, slik at den potensielle
energien $-\bold{\mu} \cdot \bold{B}$ (jf grunnleggende magnetostatikk) kun kan ha
verdien $E_- = -\mu_B B$ eller $E_+ = \mu_B B$, svarende til at $\bold{\mu}$ peker i hhv 
samme retning som $\bold{B}$ eller motsatt retning av $\bold{B}$. Her er $\mu_B = e \hbar / 2 m_e$ 
en s{\aa}kalt Bohr-magneton. \\

I termisk likevekt er sannsynligheten $p(s)$ for at elektronet befinner seg i den ene eller den andre 
av de to mulige tilstandene (med $s = \pm 1$ svarende til $E_{\pm}$)
$$p(s)=C\,e^{-sx},$$
dvs proporsjonal med {\em Boltzmannfaktoren}.
Her er $C$ en normeringskonstant, og $x = \mu_B B/kT$ er en dimensjonsl{\o}s st{\o}rrelse som angir 
spinnets potensielle energi i magnetfeltet relativt den tilgjengelige termiske energien $kT$. \\

$a)$ Beregn normeringskonstanten $C$, og bestem dermed partisjonsfunksjonen $Z=1/C$. \\

$b)$ Elektronets midlere magnetiske moment $m$ er gitt ved
$$m= \langle \mu \rangle = \sum_{s=\pm 1} (-s)\,\mu_B \,p(s).$$
[Minustegn foran $s$ fordi $s=1$ tilsvarer $\bold{\mu}$ i negativ $z$-retning.]
Med $N$ slike elektroner, hva blir systemets magnetisering $M$ (dvs magnetisk moment
pr volumenhet)? Vis at dette resultatet er i samsvar med Curies lov, $M \sim 1/T$,
for h{\o}ye temperaturer (evt svakt magnetfelt). Hva blir $M$ dersom
$\mu_B B \gg kT$? Enn hvis $T=0$? Er disse svarene rimelige? \\

\vfill

\begin{small}
Noen svar og opplysninger: 

Oppgave 1: $\eta = 0.23$, $\eta_C = 0.69$.
\hspace{1cm}
Oppgave 2: 72 tonn/s.
\hspace{1cm}
Oppgave 4b: Jorda, N$_2$: $T < 3900$ K.

Oppgave 5b: $m = \mu_B \tanh{x}$. $\tanh x = x$ for $x \ll 1$.
$\tanh x = 1$ for $x \gg 1$.
\end{small}

\end{document}