\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\begin{large}
{\O}ving 5
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 1. Absorpsjonskj{\o}leskapet} \\

Absorpsjonskj{\o}leskapet ble oppfunnet i 1922 av de to svenske ingeni{\o}rstudentene
Baltzar von Platen og Carl Munters. (Prinsippet var kjent mye tidligere.) I motsetning til 
det mer alminnelige kompressorkj{\o}leskapet fungerer absorpsjonskj{\o}leskapet uten
motor og tilf{\o}rsel av arbeid. Oppvarming med f.eks en liten propanflamme gir den 
{\o}nskede avkj{\o}lingen. I denne oppgaven skal vi bestemme teoretisk virkningsgrad
for et absorpsjonskj{\o}leskap. \\
La oss imidlertid f{\o}rst skissere virkem{\aa}ten (se figur): \\
Ammoniakk (NH$_3$) drives ut av en vannl{\o}sning med varmetilf{\o}rsel 
(i generatoren, ved temperaturen $T_3$).
Noe vann blir med, men dette renner tilbake fra separatoren til absorbatoren,
mens ammoniakkgassen stiger videre. Ved hjelp av god termisk kontakt til
omgivelsene avkj{\o}les ammoniakkgassen slik at den kondenserer
til v{\ae}ske (ved temperatur $T_2$). Denne v{\ae}sken renner s{\aa} ut i en krets 
der det ogs{\aa} sirkulerer hydrogengass (H$_2$).
Her fordamper NH$_3$ ved lavt partialtrykk, mens H$_2$ s{\o}rger for at totaltrykket opprettholdes.
Det er nettopp denne fordampingen som gir kj{\o}levirkningen (inni kj{\o}leskapet, ved temperatur $T_1$). 
Deretter blir NH$_3$ absorbert i vannet (i absorbatoren),
som i mellomtiden er blitt avkj{\o}lt (til omgivende temperatur $T_2$). 
Til slutt renner vann-ammoniakk-l{\o}sningen tilbake til generatoren, hvoretter
en ny syklus kan starte, med oppvarming fra propanflammen.
Vann og ammoniakk har alts{\aa} str{\o}mmet i hver sin krets etter at de ble separert ved oppvarmingen for
s{\aa} {\aa} m{\o}tes igjen i absorbatoren. Hydrogengass blir hindret fra {\aa} komme ut
i vann/ammoniakk-kretsene med vannl{\aa}ser, p{\aa} samme
vis som vond lukt blir hindret fra {\aa} komme ut av et kloakkanlegg. \\
N{\aa} til selve oppgaven: \\
Anta at kj{\o}lesystemet tilf{\o}res en varmemengde $Q_3$ fra varmekilden ved temperaturen  $T_3$.
Samtidig tilf{\o}res kj{\o}lesystemet ogs{\aa} varmemengden $Q_1$ fra det indre av
kj{\o}leskapet ved temperaturen  $T_1$. Energibevarelse for kretsprosessen inneb{\ae}rer at
den tilf{\o}rte varmen m{\aa} avgis til omgivelsene
som har temperaturen $T_2$. For et slikt kj{\o}leskap er derfor $T_3>T_2>T_1$. Den aktuelle
virkningsgraden vil v{\ae}re forholdet $\varepsilon_K = Q_1/Q_3$, siden $Q_1$ representerer
''nytten'' (varmen fjernet fra kj{\o}leskapet) mens $Q_3$ representerer ''kostnaden''
(varmen tilf{\o}rt med propanflammen). Vis at den
teoretisk sett maksimale virkningsgraden er
$$\varepsilon_K = \frac{T_1(T_3-T_2)}{T_3(T_2-T_1)}.$$

Hint: Anta at kretsprosessen er reversibel, slik at total entropi (for system og
omgivelser) ikke endrer seg pr syklus.
(Alternativt kan du betrakte et slikt kj{\o}leskap som en Carnotmaskin som
opererer mellom temperaturene $T_3$ og $T_2$, og som driver en kj{\o}lemaskin 
som opererer mellom temperaturene $T_1$ og $T_2$.) \\

Bestem tallverdi for $\varepsilon_K$ med temperaturverdiene $T_1 = 277$ K,
$T_2 = 293$ K og $T_3 = 373$ K. \\


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{gasskjoleskap.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\begin{center}
Absorpsjonskj{\o}leskap.
\end{center}

\vspace{0.7cm}
{\bf Oppgave 2.} \\

En kasserolle med 1.0 L vann skal varmes opp fra 20$^\circ$C til 100$^\circ$C ved ulike prosesser. 
Varmekapasiteten til vann er $c_p=1.0\,{\rm cal/(g\,K)}=4.184\,{\rm kJ/kg\,K}$. Du kan se bort fra 
varmekapasiteten til kasserollen.\\ 
$a)$ Kasserollen plasseres p{\aa} en varmeplate (varmereservoar) som holdes konstant p{\aa} 100$^\circ$C, 
og det hele kommer til likevekt.

i) Beregn entropiendringen til omgivelsene (varmeplata). 
({\small Ett av disse er riktig: -1.23 kJ/K; -0.90 kJ/K; +0.90 kJ/K.})

ii) Beregn entropiendringen i vannet. 
({\small Ett av disse er riktig: 1.01 kJ/K; 0.90 kJ/K; 0.11 kJ/K.})

iii) Beregn total entropiendring. 
({\small Ett av disse er riktig: 1.01 kJ/K; 0.90 kJ/K; 0.11 kJ/K.}) \\

$b)$ Oppvarmingen gj{\o}res n{\aa} i to trinn: F{\o}rst plasseres kasserollen p{\aa} en varmeplate 
som holder 50$^\circ$C, og vannet n{\aa}r denne temperaturen. Deretter plasseres kasserollen 
p{\aa} plata som holder 100$^\circ$C, og likevekt oppn{\aa}s der.

Beregn entropiendringer, som under punktene i), ii) og iii) ovenfor, for den totale prosessen. 
({\small P{\aa} iii) er ett av disse riktig: 110 J/K; 60 J/K; 0 J/K.}) \\

$c)$ Oppvarmingen gj{\o}res n{\aa} i uendelig mange infinitesimale trinn: Kasserollen plasseres 
p{\aa} varmeplater som er trinnvis varmere, f.eks 20$^\circ$C, 20.1$^\circ$C, 20.2$^\circ$C 
osv til 100$^\circ$C, med stadig finere oppdeling.

Forklar hvorfor dette er en reversibel prosess.

Beregn ogs{\aa} her, som under punktene i), ii) og iii) ovenfor, entropiendringer for den totale prosessen. 
({\small P{\aa} ii) er ett av disse riktig: 1.01 kJ/K; 0.90 kJ/K; 0.11 kJ/K.}) \\

\newpage
%%\vspace{1cm}

{\bf Oppgave 3. Spontane reaksjoner eller ei?} \\

Finn ut om de kjemiske reaksjonene nedenfor kan forl{\o}pe spontant
(fra venstre mot h{\o}yre) ved normale betingelser (25 $^\circ$C og 1 atm).
Bruk {\em SI Chemical Data} (Aylward og Findlay), Wikipedia eller nettstedene webbook.nist.gov
({\em National Institute of Standards and Technology}) eller chemeo.com
til {\aa} bestemme Gibbs fri energi til reaktanter og produkter. ($G = H - TS$)
\begin{description}
\item[$a)$] $\frac{3}{2}$ O$_2$ $\rightarrow$ O$_3$
\item[$b)$] NO + O$_3$ $\rightarrow$ NO$_2$ + O$_2$
\end{description}


\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 4} \\

To like store metallklosser har (hver for seg) varmekapasitet $C$,
som antas {\aa} v{\ae}re konstant, uavhengig av temperaturen.
Klossenes volumutvidelseskoeffisient er praktisk talt lik null.
Temperaturen til de to klossene er i utgangspunktet $T_1$ og $T_2 > T_1$, 
og klossene er termisk isolert fra omgivelsene:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{temperaturutjevning.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

Dersom vi lar klossene utveksle varme med hverandre irreversibelt, og uten at vi
tar ut noe nyttig arbeid, vil den totale entropien til systemet {\o}ke, 
felles slutt-temperatur blir $T_0 = (T_1+T_2)/2$, og like mye varme $|Q_2|$ forlater
den varmeste klossen som det som tilf{\o}res den kaldeste klossen ($Q_1$),
$Q_1 = -Q_2 = C(T_0-T_1) = C(T_2-T_1)/2$. (Se forelesningene, om irreversible prosesser.) \\

Alternativt kan vi tenke oss at vi lar de to klossene drive en varmekraftmaskin, slik at
vi kan ta ut et nyttig arbeid $W$, som antydet i figuren. Vis at det maksimale arbeidet
(eksergien) som kan tas ut i en tenkt reversibel prosess er
$$W_{\rm max} = C \left( \sqrt{T_2} - \sqrt{T_1} \right)^2,$$
og at likevektstemperaturen i dette tilfellet blir
$$T_0 = \sqrt{T_1 T_2}.$$
Vis at denne likevektstemperaturen alltid er mindre enn for den irreversible
temperaturutjevningen (der vi ikke tar ut nyttig arbeid). \\

Tips: Bestem $T_0$ ved {\aa} se p{\aa} entropiendringen til hver av klossene, samt at du utnytter at
$\Delta S = 0$ for reversible prosesser i et termisk isolert system. Videre er
$W_{\rm max} = -\Delta G = -\Delta(U+p_0 V-T_0 S)$.

%%\vspace{0.4cm}
\newpage

{\bf Oppgave 5} \\

\vspace{0.2cm}
$a)$ En ideell gass kj{\o}les fra temperaturen $T$ til $T_0$. Omgivelsenes temperatur er hele tiden $T_0$. 
Start- og slutt-tilstanden har samme volum ($\Delta V=0$). Vis at det maksimale arbeid som er mulig {\aa} 
f{\aa} ut av gassen er
$$W_{\rm max} = C_V (T-T_0) - C_V T_0 \ln\frac{T}{T_0}.$$
Tips: Entropi for ideell gass er $S = C_V \ln T + nR \ln V + {\rm konst}$.

\vspace{0.3cm}
$b)$ Hvor mye varme avgis, og hva er det maksimale arbeidet n{\aa}r gassen er ett mol toatomig gass, 
og avkj{\o}lingen er fra 100$^\circ$C til 20$^\circ$C? {\small (Svar: $W_{\rm max}=193$ J.)} 

\vspace{0.3cm}
$c)$ En m{\aa}te {\aa} ta ut det maksimale arbeidet p{\aa} er {\aa} la en Carnot-maskin virke mellom 
den {\o}vre avtagende temperaturen og den faste $T_0$. Vis at dette gir det samme arbeidet $W_{\rm max}$. \\

Tips: La den ideelle gassen representere h{\o}ytemperaturreservoaret, med varierende
(avtagende) temperatur, fra $T$ til $T_0$. Virkningsgraden til Carnot-maskinen vil dermed
ogs{\aa} variere (avta), fra verdien $1-T_0/T$ til verdien $1-T_0/T_0 = 0$.

\vspace{0.3cm}
$d)$ En annen m{\aa}te {\aa} ta ut det maksimale arbeidet p{\aa} er f{\o}rst {\aa} ekspandere gassen 
adiabatisk slik at temperaturen synker til $T_0$. Deretter komprimeres den isotermt tilbake til 
opprinnelig volum. Vis at dette ogs{\aa} gir samme arbeid $W_{\rm max}$.  \\

Tips: For adiabat med ideell gass gjelder $pV^\gamma =$ konstant og
$TV^{\gamma-1} =$ konstant (med $\gamma = C_p/C_V$).

\vspace{0.8cm}
{\bf Oppgave 6} \\

$a)$ Utled Maxwellrelasjonen
$$\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.$$

\vspace{0.3cm}
$b)$ En kobberblokk har volum 1 cm$^3$ ved temperatur 100 K og trykk 1 bar. 
Blokken blir s{\aa} komprimert reversibelt og isotermt til trykket 1300 bar. 
Beregn arbeidet som utf{\o}res p{\aa} kobberblokken ved denne kompresjonen. \\

$c)$ Hva blir endringen i entropi for kobberblokken ved denne isoterme kompresjonen, og hvor stor 
blir endringen i indre energi? \\

Tips:
\begin{itemize}
\item Du kan anta at $\kappa_T$ og $\alpha_V$ er konstante og at volumendringen er liten 
ved denne kompresjonen. (Sjekk selv at $\Delta V$ blir ca -0.001 cm$^3$.)
\item Du f{\aa}r bruk for $\kappa_T$ og $\alpha_V$ i hhv punkt $b)$ og $c)$.
\item Benytt resultatet fra punkt $a)$ til {\aa} bestemme entropiendringen.
\end{itemize}

Oppgitt: Isoterm kompressibilitet og kubisk utvidelseskoeffisient for Cu:
$$\kappa_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T= 0.721\cdot10^{-11}\,{\rm Pa}^{-1} 
\quad{\rm og} \quad
\alpha_V=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=50.4\cdot10^{-6}\,{\rm K}^{-1}.$$

\vspace{0.2cm}
{\small Svar: $b)$ 61 mJ $c)$ -6.55 mJ/K, -0.59 J.} \\


\end{document}