\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2014.
\end{bf}

Veiledning: 10.\ og 13.\ februar. Innleveringsfrist: Fredag 14.\ februar kl 16. \\

NB: Denne {\o}vingen er obligatorisk.

\begin{large}
{\O}ving 5
\end{large}
\end{center}

{\bf Maxwellfordelingen} \\

{\em Innledning} \\

I denne {\o}vingen skal vi studere bevegelsen til sirkul{\ae}re plastskiver p{\aa} 
et luftputebord. Luftputebordet har vibrerende vegger som i gjennomsnitt tilf{\o}rer
skivene litt energi i kollisjonene mellom vegg og skive. Dette kompenserer for
friksjon mellom skivene og underlaget, samt et visst energitap n{\aa}r skivene
kolliderer med hverandre. Etter en viss tid har vi {\em stasjon{\ae}re} forhold,
der tilf{\o}rt energi fra veggene og tapt energi pga friksjon er like store. 
Vi kan da forvente at skivenes hastighetsfordeling ogs{\aa} er stasjon{\ae}r,
og oppgaven g{\aa}r i korthet ut p{\aa} bestemme denne hastighetsfordelingen
og sammenligne med teoretisk forventet fordeling. \\

Filmen \href{http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4165_2014/matlab/video8.wmv}{video8.wmv} 
viser det studerte utsnittet av luftputebordet i ca 14 sekunder. 
I l{\o}pet av denne tiden har vi fulgt banen $(x(t),y(t))$ til 49 skiver. Eller mer
presist, 49 skivebaner, siden en gitt skive kan forsvinne ut av bildet og
komme inn i bildet igjen opp til flere ganger i l{\o}pet av de 14 sekundene.
Med programmet \href{http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker}{tracker} er de 49 banene
kartlagt og lagret i hver sin fil, \verb|mass8_1.txt, mass8_2.txt, ..., mass8_49.txt|.
Disse 49 tekstfilene ligger samlet i fila
\href{http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4165_2014/matlab/maxwell.zip}{maxwell.zip}.
Eksempelvis er innholdet i fila \verb|mass8_24.txt| som f{\o}lger:
\begin{verbatim}
mass8_24
t	x	y
6.352	-109.08	-109.808
6.431	-122.184	-88.696
6.495	-134.317	-67.826
6.56	-148.15	-47.685
\end{verbatim}
F{\o}rste linje er f{\o}rste del av filnavnet, andre linje angir hvilke
st{\o}rrelser som p{\aa}f{\o}lgende data tallfester, og fra og med tredje
linje kommer sammenh{\o}rende verdier av tid $t$ (m{\aa}lt i sekunder),
horisontal posisjon $x$ og vertikal posisjon $y$. Tallverdiene for $x$ og $y$
m{\aa} multipliseres med faktoren 0.22 for {\aa} f{\aa} enheten centimeter. Bane nr 24
tilh{\o}rer en skive som var inne i synsfeltet kun et par tiendedels sekunder
f{\o}r den forsvant ut av bildet igjen. Filmen er tatt opp med et webkamera
som tar 15 bilder pr sekund. \\

To p{\aa}f{\o}lgende bilder gir grunnlag for numerisk beregning av $v_x$,
$v_y$ og $v = \sqrt{v_x^2+v_y^2}$ for en gitt skive som er inne i synsfeltet.
(For bane nr 24, med bare 4 bilder, kan vi beregne 3 verdier av $v_x$, $v_y$ og $v$.)
Alt i alt gir de 49 banene p{\aa} denne m{\aa}ten grunnlag for 920 
individuelle fartsm{\aa}linger. Hvis vi n{\aa} deler inn $v$-aksen (evt
$v_x$-aksen og $v_y$-aksen) i passende store intervaller, kan vi telle opp hvor
mange m{\aa}linger som havner i hvert intervall, og til slutt tegne opp 
fordelingen(e) i et (eller flere) histogram. \\

Antagelsene som f{\o}rte fram til Maxwellfordelingen for molekylenes hastigheter
i en fortynnet gass var ikke annet enn at ingen retninger er spesielt
foretrukne (isotrop fordeling) og at de ulike komponentene av hastigheten
(her: $v_x$ og $v_y$) er statistisk uavhengige. Er det noen grunn til {\aa} tro
at disse antagelsene ikke skulle gjelde for skivene p{\aa} luftputebordet?
Nei, ikke s{\aa} langt jeg kan se! Med andre ord, sannsynligheten for at en gitt
skive har hastighetskomponenter p{\aa} intervallene $(v_x,v_x+dv_x)$ og
$(v_y,v_y+dv_y)$ er henholdsvis
$$g(v_x)\,dv_x = \sqrt{\frac{B}{\pi}}\, e^{-B v_x^2}\,dv_x$$
og
$$g(v_y)\,dv_y = \sqrt{\frac{B}{\pi}}\, e^{-B v_y^2}\,dv_y,$$
skivenes hastighetsfordeling blir
$$F(v) = g(v_x) \, g(v_y) = \frac{B}{\pi}\,e^{-B v^2},$$
med $v^2 = v_x^2 + v_y^2$, mens fartsfordelingen blir
$$f(v) = 2B v e^{-B v^2}.$$
Her har vi brukt samme notasjon som i forelesningene, slik at
$F(v) d^2 v$ angir sannsynligheten for at en skive har hastighet mellom
$\bold{v}$ og $\bold{v} + d\bold{v}$, mens $f(v) dv$ er sannsynligheten
for at en skive har fart ($v = |\bold{v}|$) mellom $v$ og $v+dv$. \\

\vspace{0.5cm}
{\em Oppgaver} \\

$a)$ Last ned fila \verb|maxwell.zip| og ''pakk ut'' de 49 txt-filene.
Skriv ferdig MATLAB-programmet \verb|maxwell.m| slik at dette plotter
(1) samtlige fartsverdier i rekkef{\o}lge som beregnet i programmet;
(2-4) histogram for skivenes fartsfordeling $f(v)$ og skivenes fordeling av
hastighetskomponenter, hhv $g(v_x)$ og $g(v_y)$, samt
(5-6) spredningsplott (''scatter plot'') av henholdsvis
$v_x$ mot $v_y$ og $x$ mot $y$ for samtlige m{\aa}lte verdier.
I de tre histogrammene skal det ogs{\aa} tegnes opp teoretiske
fordelingsfunksjoner. \\

Tips:

\begin{itemize}
\item
Bruk kommandoen \verb|subplot|.
\item
Det er mange ulike ''regler'' for {\aa} velge antall intervaller (''bins'')
i et histogram (sjekk wikipedia). Med ''The Rice Rule'', $M \simeq 2 N^{1/3}$
(neste heltall), f{\aa}r vi $M = 20$ intervaller med $N=920$ datapunkter.
\item
Plott {\em normerte} sannsynlighetsfordelinger, dvs slik at summen av h{\o}ydene
til samtlige ''s{\o}yler'' i et gitt histogram blir lik 1.
\item
Som sagt, i de tre histogrammene skal det
tegnes opp teoretiske fordelingsfunksjoner p{\aa} formen gitt innledningsvis.
Fastlegg $B$ ved {\aa} beregne midlere kvadratiske hastighet og
sette $B = 1/\langle v^2 \rangle$. 
De teoretiske fordelingene er n{\aa} normert i den forstand at
$$\sum_i f_i \Delta v = 1,$$
og tilsvarende for $g(v_x)$ og $g(v_y)$. Her angir $f_i$ verdien av $f$
midt i intervall nr $i$, og $\Delta v$ er intervallbredden. Med fast antall
intervaller $M$ blir intervallbredden forskjellig i de tre histogrammene. 
\item
Nedenfor finner du en figur basert p{\aa} et lite utvalg av de i alt
49 plastskivebanene.
\item
Du velger selv i hvilken grad du vil benytte deg av strukturen som er foresl{\aa}tt
i programmet \verb|maxwell.m|. Vil du heller programmere i C++, Python eller Fortran,
s{\aa} er det selvsagt helt i orden.
\end{itemize}

$b)$ Plastskivene har masse $m = 32$ g. Hva blir da verdien av ''Boltzmanns 
plastskivekonstant'' $k_p$? Dvs: Anvend det klassiske ekvipartisjonsprinsippet,
$$\frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = k_p T$$ 
(to uavhengige kvadratiske bidrag til energien i to dimensjoner)
med $T = 300$ K, og fastlegg dermed $k_p$. 

Eller omvendt: Hvilken temperatur m{\aa}tte en omgivende gass ha for {\aa} gi
slike plastskiver en hastighetsfordeling som m{\aa}lt i dette eksperimentet? \\

$c)$ Beregn plastskivenes midlere fart $\langle v \rangle$ og sammenlign med
skivenes rms-hastighet $v_{\rm rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$. Er forholdet
mellom disse som forventet, dvs $\langle v \rangle/v_{\rm rms} = \sqrt{\pi}/2$?
(Vis gjerne at det blir slik i to dimensjoner.) \\

$d)$ Gir spredningsplottene av hastigheter og posisjoner et visuelt inntrykk
omtrent som forventet? Er det tegn til drift i noen bestemt(e) retning(er)?
Sammenlign med $\langle v_x \rangle$ og $\langle v_y \rangle$. \\


Figur basert p{\aa} 10 av 49 plastskivebaner:

%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=6.5in \epsfbox{testplott.eps}}
%%END FIGURE


\end{document}