\documentclass[11pt]{article} \usepackage{epsfig} \usepackage[norsk]{babel} \topmargin=-2.0cm \oddsidemargin=-1.0cm \evensidemargin=-1.0cm \textheight=24cm \textwidth=18cm \setlength{\parindent}{0cm} \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{center} \begin{bf} TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. \end{bf} \vspace{0.3cm} \begin{large} {\O}ving 6 \end{large} \end{center} \vspace{0.6cm} {\bf Oppgave 1.} \\ \vspace{5mm} \hrule \vspace{5mm} $a)$ Argon er en enatomig gass (dvs enkeltatomer) med atomdiameter ca 0.38 nm. Hvor stor andel av tilgjengelig volum okkuperer da argonatomene ved romtemperatur (300 K) og trykk $10^{-3}$ Pa (et ikke unormalt trykk i et elektronmikroskop, og blant folk som driver med overflatefysikk)? (Det oppgis at kuler har volum $4\pi r^3/3$.) \\ A) $7 \cdot 10^{-6}$ \hspace{17mm} B) $3 \cdot 10^{-6}$ C) $7 \cdot 10^{-12}$ \hspace{15mm} D) $3 \cdot 10^{-12}$ \vspace{5mm} \hrule \vspace{5mm} $b)$ Argon har atomnummer 18, og i tillegg til de 18 protonene er det 22 n{\o}ytroner i atomkjernen. (Den mest vanlige isotopen, som utgj{\o}r ca 99.6\%.) Hva blir da (omtrent) midlere partikkelhastighet $\langle v \rangle$ i en argongass ved termodynamiske betingelser som i oppgave a? \\ A) 4 m/s \hspace{20mm} B) 400 m/s \hspace{20mm} C) 40000 m/s \hspace{20mm} D) 4000000 m/s \vspace{5mm} \hrule \vspace{5mm} $c)$ Hydrogenmolekylet, H$_2$, har mulige (''tillatte'') rotasjonsenergier $$K_{\rm rot}^{(l)} = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2I_0} \;\; , \;\; l = 0,1,2,3,\dots$$ Her er $\hbar = h/2\pi \simeq 1.05 \cdot 10^{-34}$ Js ($h$ = Plancks konstant), og $I_0 = md^2/2$ er molekylets treghetsmoment med hensyn p{\aa} akser som st{\aa}r normalt p{\aa} molekylets sylindersymmetriakse, og som passerer gjennom molekylets massesenter. For hydrogenmolekylet er $\hbar^2/I_0 \simeq 15$ meV. Det oppgis dessuten at $k_B \simeq 0.086$ meV/K. La $\pi_l$ v{\ae}re sannsynligheten for at et gitt molekyl er i ''rotasjonstilstand'' $l$, med rotasjonsenergi $K_{\rm rot}^{(l)}$. Hva er da forholdet $\pi_1/\pi_0$ ved temperatur 77 K (flytende nitrogen)? \\ A) ca 1.8 \hspace{15mm} B) ca 0.1 \hspace{15mm} C) ca 0.0001 \hspace{15mm} D) ca $10^{-9}$ \vspace{5mm} \hrule \vspace{1.3cm} {\bf Oppgave 2.} \\ En kasserolle med 1.0 L vann skal varmes opp fra 20$^\circ$C til 100$^\circ$C ved ulike prosesser. Varmekapasiteten til vann er $c_p=1.0\,{\rm cal/(g\,K)}=4.184\,{\rm kJ/kg\,K}$. Du kan se bort fra varmekapasiteten til kasserollen.\\ $a)$ Kasserollen plasseres p{\aa} en varmeplate (varmereservoar) som holdes konstant p{\aa} 100$^\circ$C, og det hele kommer til likevekt. i) Beregn entropiendringen til omgivelsene (varmeplata). ({\small Ett av disse er riktig: -1.23 kJ/K; -0.90 kJ/K; +0.90 kJ/K.}) ii) Beregn entropiendringen i vannet. ({\small Ett av disse er riktig: 1.01 kJ/K; 0.90 kJ/K; 0.11 kJ/K.}) iii) Beregn total entropiendring. ({\small Ett av disse er riktig: 1.01 kJ/K; 0.90 kJ/K; 0.11 kJ/K.}) \\ $b)$ Oppvarmingen gj{\o}res n{\aa} i to trinn: F{\o}rst plasseres kasserollen p{\aa} en varmeplate som holder 50$^\circ$C, og vannet n{\aa}r denne temperaturen. Deretter plasseres kasserollen p{\aa} plata som holder 100$^\circ$C, og likevekt oppn{\aa}s der. Beregn entropiendringer, som under punktene i), ii) og iii) ovenfor, for den totale prosessen. ({\small P{\aa} iii) er ett av disse riktig: 110 J/K; 60 J/K; 0 J/K.}) \\ $c)$ Oppvarmingen gj{\o}res n{\aa} i uendelig mange infinitesimale trinn: Kasserollen plasseres p{\aa} varmeplater som er trinnvis varmere, f.eks 20$^\circ$C, 20.1$^\circ$C, 20.2$^\circ$C osv til 100$^\circ$C, med stadig finere oppdeling. Forklar hvorfor dette er en reversibel prosess. Beregn ogs{\aa} her, som under punktene i), ii) og iii) ovenfor, entropiendringer for den totale prosessen. ({\small P{\aa} ii) er ett av disse riktig: 1.01 kJ/K; 0.90 kJ/K; 0.11 kJ/K.}) \\ \vspace{1cm} {\bf Oppgave 3. Spontane reaksjoner eller ei?} \\ Finn ut om de kjemiske reaksjonene nedenfor kan forl{\o}pe spontant (fra venstre mot h{\o}yre) ved normale betingelser (25 $^\circ$C og 1 atm). Bruk {\em SI Chemical Data} (Aylward og Findlay), Wikipedia eller nettstedene webbook.nist.gov ({\em National Institute of Standards and Technology}) eller chemeo.com til {\aa} bestemme Gibbs fri energi til reaktanter og produkter. ($G = H - TS$) \begin{description} \item[$a)$] $\frac{3}{2}$ O$_2$ $\rightarrow$ O$_3$ \item[$b)$] NO + O$_3$ $\rightarrow$ NO$_2$ + O$_2$ \end{description} \vspace{0.6cm} {\bf Oppgave 4} \\ To like store metallklosser har (hver for seg) varmekapasitet $C$, som antas {\aa} v{\ae}re konstant, uavhengig av temperaturen. Klossenes volumutvidelseskoeffisient er praktisk talt lik null. Temperaturen til de to klossene er i utgangspunktet $T_1$ og $T_2 > T_1$, og klossene er termisk isolert fra omgivelsene: %%FIGURE \vspace{0.4cm} \centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{temperaturutjevning.eps}} \vspace{0.4cm} %%END FIGURE Dersom vi lar klossene utveksle varme med hverandre irreversibelt, og uten at vi tar ut noe nyttig arbeid, vil den totale entropien til systemet {\o}ke, felles slutt-temperatur blir $T_0 = (T_1+T_2)/2$, og like mye varme $|Q_2|$ forlater den varmeste klossen som det som tilf{\o}res den kaldeste klossen ($Q_1$), $Q_1 = -Q_2 = C(T_0-T_1) = C(T_2-T_1)/2$. (Se forelesningene, om irreversible prosesser.) \\ Alternativt kan vi tenke oss at vi lar de to klossene drive en varmekraftmaskin, slik at vi kan ta ut et nyttig arbeid $W$, som antydet i figuren. Vis at det maksimale arbeidet (eksergien) som kan tas ut i en tenkt reversibel prosess er $$W_{\rm max} = C \left( \sqrt{T_2} - \sqrt{T_1} \right)^2,$$ og at likevektstemperaturen i dette tilfellet blir $$T_0 = \sqrt{T_1 T_2}.$$ Vis at denne likevektstemperaturen alltid er mindre enn for den irreversible temperaturutjevningen (der vi ikke tar ut nyttig arbeid). \\ Tips: Bestem $T_0$ ved {\aa} se p{\aa} entropiendringen til hver av klossene, samt at du utnytter at $\Delta S = 0$ for reversible prosesser i et termisk isolert system. Videre er $W_{\rm max} = -\Delta G = -\Delta(U+p_0 V-T_0 S)$. \vspace{0.4cm} {\bf Oppgave 5} \\ \vspace{0.6cm} $a)$ En ideell gass kj{\o}les fra temperaturen $T$ til $T_0$. Omgivelsenes temperatur er hele tiden $T_0$. Start- og slutt-tilstanden har samme volum ($\Delta V=0$). Vis at det maksimale arbeid som er mulig {\aa} f{\aa} ut av gassen er $$W_{\rm max} = C_V (T-T_0) - C_V T_0 \ln\frac{T}{T_0}.$$ Tips: Entropi for ideell gass er $S = C_V \ln T + nR \ln V + {\rm konst}$. \vspace{1.0cm} $b)$ Hvor mye varme avgis, og hva er det maksimale arbeidet n{\aa}r gassen er ett mol toatomig gass, og avkj{\o}lingen er fra 100$^\circ$C til 20$^\circ$C? {\small (Svar: $W_{\rm max}=193$ J.)} \vspace{1.0cm} $c)$ En m{\aa}te {\aa} ta ut det maksimale arbeidet p{\aa} er {\aa} la en Carnot-maskin virke mellom den {\o}vre avtagende temperaturen og den faste $T_0$. Vis at dette gir det samme arbeidet $W_{\rm max}$. \\ Tips: La den ideelle gassen representere h{\o}ytemperaturreservoaret, med varierende (avtagende) temperatur, fra $T$ til $T_0$. Virkningsgraden til Carnot-maskinen vil dermed ogs{\aa} variere (avta), fra verdien $1-T_0/T$ til verdien $1-T_0/T_0 = 0$. \vspace{1.0cm} $d)$ En annen m{\aa}te {\aa} ta ut det maksimale arbeidet p{\aa} er f{\o}rst {\aa} ekspandere gassen adiabatisk slik at temperaturen synker til $T_0$. Deretter komprimeres den isotermt tilbake til opprinnelig volum. Vis at dette ogs{\aa} gir samme arbeid $W_{\rm max}$. \\ Tips: For adiabat med ideell gass gjelder $pV^\gamma =$ konstant og $TV^{\gamma-1} =$ konstant (med $\gamma = C_p/C_V$). \end{document}