\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 8
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 1} \\

$a)$ Utled Maxwellrelasjonen
$$\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.$$

\vspace{0.3cm}
$b)$ En kobberblokk har volum 1 cm$^3$ ved temperatur 100 K og trykk 1 bar. 
Blokken blir s{\aa} komprimert reversibelt og isotermt til trykket 1300 bar. 
Beregn arbeidet som utf{\o}res p{\aa} kobberblokken ved denne kompresjonen. \\

$c)$ Hva blir endringen i entropi for kobberblokken ved denne isoterme kompresjonen, og hvor stor 
blir endringen i indre energi? \\

Tips:
\begin{itemize}
\item Du kan anta at $\kappa_T$ og $\alpha_V$ er konstante og at volumendringen er liten 
ved denne kompresjonen. (Sjekk selv at $\Delta V$ blir ca -0.001 cm$^3$.)
\item Du f{\aa}r bruk for $\kappa_T$ og $\alpha_V$ i hhv punkt $b)$ og $c)$.
\item Benytt resultatet fra punkt $a)$ til {\aa} bestemme entropiendringen.
\end{itemize}

Oppgitt: Isoterm kompressibilitet og kubisk utvidelseskoeffisient for Cu:
$$\kappa_T=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T= 0.721\cdot10^{-11}\,{\rm Pa}^{-1} 
\quad{\rm og} \quad
\alpha_V=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=50.4\cdot10^{-6}\,{\rm K}^{-1}.$$

\vspace{0.2cm}
{\small Svar: $b)$ 61 mJ $c)$ -6.55 mJ/K, -0.59 J.} \\

\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Med muligheten for varierende partikkeltall $N$ generaliseres den termodynamiske
identitet til
$$dU = T dS - p dV + \mu dN,$$
der det kjemiske potensial $\mu$ representerer tilf{\o}rt energi pr partikkel i
en prosess der $S$ og $V$ holdes konstant, dvs $\mu = (\partial U/\partial N)_{S,V}$.
Alternativt har vi $\mu = (\partial G/\partial N)_{p,T}$, som viser at
kjemisk potensial er ogs{\aa} tilf{\o}rt Gibbs fri energi pr partikkel i
prosesser med konstant $p$ og $T$. \\

Finn tilsvarende $\mu$ uttrykt ved Helmholtz fri energi $F$ og entalpi $H$. \\

\newpage
{\bf Oppgave 3} \\

$a)$ Skriv ned $dG$ for et magnetisk system ved {\aa} utnytte at arbeidet 
$\dbar W = p dV$ erstattes av $\dbar W = -\mu_0 H dM$. Her er $H$ det ytre
magnetfeltet (med enhet A/m, slik at $\mu_0 H$ blir det ytre ''$B$-feltet''
med enhet T) og $M$ er systemets totale magnetiske (dipol-)moment (med enhet
A m$^2$, slik at sammenhengen mellom $B$, $H$ og $M$ blir $B = \mu_0(H+M/V)$,
med $V$ lik systemets volum). Her bruker vi med andre ord ''normale'' $H$
og $M$, der vi i forelesningene brukte ''scriptfont'' $\mathcal{H}$ og $\mathcal{M}$. \\

$b)$ Skriv ned Clapeyrons ligning for koeksistenslinjen mellom to ulike
faser 1 og 2 i et magnetisk system ved {\aa} utnytte samme analogi som i punkt $a)$.
Finn derved entropiforskjellen $\Delta S = S_2 - S_1$ uttrykt ved koeksistenslinjens
helning $dH/dT$ og $\Delta M = M_2 - M_1$. \\

$c)$ Figuren under viser fasediagrammet for et ferromagnetisk materiale. Vi ser her bort
fra hystereseeffekter. 
%P{\aa} mikroskopisk niv{\aa} vil vekselvirkning mellom magnetiske
%dipoler p{\aa} naboatomer resultere i en spontan magnetisering, selv med null ytre 
%magnetfelt ($H=0$). 
Materialets krystallstruktur er slik at magnetiseringen
kun er rettet langs en bestemt akse, enten ''ned'' (fase 1) eller ''opp'' (fase 2). 
%Med $H=0$ og $T=0$
%vil systemet dermed befinne seg i en av to likeverdige grunntilstander, enten med alle
%spinn opp eller alle spinn ned. Dersom et ytre magnetfelt skrus p{\aa}, vil det v{\ae}re
%energetisk foretrukket {\aa} ha $M$ i samme retning som det ytre feltet $H$, slik at
%$M > 0$ (fase 2) n{\aa}r $H > 0$ og $M < 0$ (fase 1) n{\aa}r $H < 0$.

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ferromagnet.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

%Alternativt kan vi, med utgangspunkt i en tilstand med $H=0$ og $T=0$, gradvis
%{\o}ke temperaturen med null ytre magnetfelt. Da vil magnetiseringen gradvis avta
%fra sin maksimale verdi $M_0(0) = M_{\rm max}$ ved $T=0$ til $M_0(T_c) = 0$ ved
%$T=T_c$ (kritisk temperatur). For temperaturer over $T_c$ forsvinner alts{\aa}
%magnetiseringen i null ytre felt, eller sagt p{\aa} en annen m{\aa}te, materialet
%er ikke lenger ferromagnetisk men paramagnetisk. \\

Hva blir, if{\o}lge Clapeyrons ligning,
entropiendringen n{\aa}r systemet g{\aa}r fra fase 1 til fase 2
ved lave temperaturer? (Dvs for $T < T_c$; for $T > T_c$ er materialet paramagnetisk.)
Er svaret som forventet, basert p{\aa} en statistisk tolkning av entropi? \\

$d)$ Figuren under viser fasediagrammet for en type-I superleder. I den normale fasen
(2) er magnetiseringen neglisjerbar, $M \simeq 0$. I den superledende fasen induseres
det overflatestr{\o}mmer p{\aa} en slik m{\aa}te at det totale magnetfeltet forsvinner
inne i superlederen, $B = 0$ (Meissnereffekten, ''perfekt diamagnetisme'').

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{superconductor.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

Bruk disse opplysningene og Clapeyrons ligning til {\aa} diskutere entropiendringen
$\Delta S$ ved faseovergangen for noen ulike temperaturer (se figuren).
Hvilken av de to fasene vil du karakterisere som mest ordnet? 
Hva er den latente varmen dersom faseovergangen skjer i null ytre magnetfelt? \\


\end{document}