\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 6
\end{large}
\end{center}


\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 1} \\

$a)$ Bruk Maxwells hastighetskomponentfordeling $g(v_x)$ (se forelesningene) til {\aa} beregne
$\langle |v_x| \rangle$, $\langle v_x^3 \rangle$ og $\langle v_x^4 \rangle$.  \\

$b)$ Beregn middelverdien av invers fart, $\langle 1/v \rangle$,
og sammenlign med den inverse av $\langle v \rangle$. \\

\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 2} \\

Minste hastighet $V$ for {\aa} unnslippe gravitasjonsfeltet til en planet med masse $m$ og
radius $r$ er $V = \sqrt{2Gm/r}$, der $G$ er gravitasjonskonstanten. La oss anta at molekylene
i planetens atmosf{\ae}re b{\o}r ha en ''rms-hastighet'', dvs $v_{\rm rms} = \sqrt{\langle v^2
\rangle}$, som er mindre enn $V/6$ dersom de p{\aa} lang sikt (f.eks noen millioner {\aa}r)
ikke skal forsvinne ut i verdensrommet. \\

$a)$ Vis at planetens overflatetemperatur da m{\aa} oppfylle betingelsen
$T < GMm/54Rr$ for at molekyler med molar masse $M$ ikke skal forsvinne fra planetens
atmosf{\ae}re. Her er $R$ gasskonstanten. \\

$b)$ Bruk ulikheten i spm $a$ til {\aa} vurdere muligheten for {\aa} finne hydrogen i 
atmosf{\ae}ren til Jorda og Jupiter. Er ulikheten konsistent med at Jordas atmosf{\ae}re
er rik p{\aa} nitrogen og oksygen? Hva med frav{\ae}ret av atmosf{\ae}re p{\aa} m{\aa}nen?

[Jordas masse: $6.0\cdot10^{24}$ kg. Jordas radius: $6.4\cdot10^6$ m. Jupiters masse:
$1.9\cdot10^{27}$ kg. Jupiters radius: $7.2\cdot10^7$ m. M{\aa}nens masse: $7.4\cdot10^{22}$ kg.
M{\aa}nens radius: $1.7\cdot10^6$ m. Molare masser for H$_2$, N$_2$, O$_2$: 2 g, 28 g, 32 g.
Gasskonstanten: $R = 8.314$ J/mol K. Gravitasjonskonstanten: $G = 6.67\cdot10^{-11}$
Nm$^2$/kg$^2$.] \\

\vspace{0.3cm}
{\bf Oppgave 3} \\

Vis at inversjonskurven med van der Waals tilstandsligning er gitt ved
$$p(T) = \frac{a}{b^2} \left(-3T/T_0+4\sqrt{T/T_0}-1\right).$$
Her er $T_0=2a/Rb$, og $a$ og $b$ er parametrene i tilstandsligningen
$p=RT/(V-b)-a/V^2$ (for stoffmengde 1 mol).


\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 4.} \\

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$a)$ Argon er en enatomig gass (dvs enkeltatomer) med atomdiameter ca 0.38 nm. Hvor
stor andel av tilgjengelig volum okkuperer da argonatomene ved romtemperatur (300 K) og
trykk $10^{-3}$ Pa (et ikke unormalt trykk i et elektronmikroskop, og blant folk som driver
med overflatefysikk)? (Det oppgis at kuler har volum $4\pi r^3/3$.) \\

A) $7 \cdot 10^{-6}$  \hspace{17mm}
B) $3 \cdot 10^{-6}$

C) $7 \cdot 10^{-12}$  \hspace{15mm}
D) $3 \cdot 10^{-12}$

\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$b)$ Argon har atomnummer 18, og i tillegg til de 18 protonene er det 22 n{\o}ytroner
i atomkjernen. (Den mest vanlige isotopen, som utgj{\o}r ca 99.6\%.)
Hva blir da (omtrent) midlere partikkelhastighet $\langle v \rangle$ i en argongass
ved termodynamiske betingelser som i oppgave a? \\

A)  4 m/s  \hspace{20mm}
B)  400 m/s  \hspace{20mm}
C)  40000 m/s  \hspace{20mm}
D)  4000000 m/s


\vspace{5mm}
\hrule
\vspace{5mm}
$c)$ Hydrogenmolekylet, H$_2$, har mulige (''tillatte'') rotasjonsenergier
$$K_{\rm rot}^{(l)} = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2I_0} \;\; , \;\; l = 0,1,2,3,\dots$$
Her er $\hbar = h/2\pi \simeq 1.05 \cdot 10^{-34}$ Js ($h$ = Plancks konstant), og
$I_0 = md^2/2$ er molekylets treghetsmoment med hensyn p{\aa} akser som st{\aa}r normalt p{\aa}
molekylets sylindersymmetriakse, og som passerer gjennom molekylets massesenter.
For hydrogenmolekylet er $\hbar^2/I_0 \simeq 15$ meV. Det oppgis dessuten at
$k_B \simeq 0.086$ meV/K.
La $\pi_l$ v{\ae}re sannsynligheten for at et gitt molekyl er i ''rotasjonstilstand'' $l$, med
rotasjonsenergi $K_{\rm rot}^{(l)}$. Hva er da forholdet $\pi_1/\pi_0$ ved temperatur
77 K (flytende nitrogen)? \\

A) ca 1.8  \hspace{15mm}
B) ca 0.1  \hspace{15mm}
C) ca 0.0001  \hspace{15mm}
D) ca $10^{-9}$

\vspace{5mm}
\hrule


\end{document}