\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{hyperref}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.2cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 7
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf $C_V$ og en forsmak p{\aa} kvantemekanikk og statistisk mekanikk} \\

De tre hydrogenhalidene HF, HCl og HI har molekylmasse hhv $3.32 \cdot 10^{-26}$ kg,
$6.05 \cdot 10^{-26}$ kg og $2.12 \cdot 10^{-25}$ kg. I et kubisk volum med sidekanter
$L = 1$ cm blir den karakteristiske temperaturen for translasjonsfrihetsgradene hhv
1.2 fK, 0.65 fK og 0.19 fK (der f = femto = $10^{-15}$). Det skal med andre ord
sv{\ae}rt lave temperaturer til for at det klassiske ekvipartisjonsprinsippet ikke
kan brukes for translasjonsfrihetsgradene. Eller: Ved s{\aa} lave temperaturer m{\aa}
trykket v{\ae}re forsvinnende lite for at disse stoffene skal v{\ae}re i gassfase. \\

Bindingslengden $d$ til HF, HCl og HI er hhv 0.92, 1.28 og 1.61 {\AA}. Siden halogenatomet
i alle tre er betydelig tyngre enn hydrogenatomet, kan vi med brukbar tiln{\ae}rmelse
sette $I = m_{\rm H} d^2$ for molekylets treghetsmoment. Med $m_{\rm H} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg
blir gode estimater for den karakteristiske temperaturen for rotasjonsfrihetsgradene hhv
28 K, 15 K og 9 K. Spektroskopiske data gir verdiene 30.2 K, 15.2 K og 9.25 K.
Dermed skal det ogs{\aa} lave temperaturer til f{\o}r ekvipartisjonsprinsippet ikke kan
brukes for rotasjonsfrihetsgradene. Siden disse forbindelsene er i fast fase ved s{\aa}
lave temperaturer, vil ekvipartisjonsprinsippet alltid kunne brukes s{\aa} lenge de
er i gassform i likevekt. Nedenfor skal vi likevel, som en teoretisk {\o}velse, anta
gassform i likevekt helt ned mot det absolutte nullpunkt og bruke de kvantiserte
energiverdiene til {\aa} beregne $C_V$ fra 0 K opp til 100 K. \\

Innsetting av de oppgitte egenfrekvensene gir karakteristiske temperaturer for
vibrasjonsfrihetsgradene hhv 5954 K, 4158 K og 3212 K. Det betyr at vibrasjonsbidraget
til $C_V$ m{\aa} beregnes med kvantemekanikk ved normale temperaturer og opp mot
noen tusen kelvin. \\

%% Numerikkdelen her...
Fra forelesningene vet vi at partisjonsfunksjonen for en enkel harmonisk oscillator
kan uttrykkes p{\aa} en enkel analytisk form. For en stiv rotator, dvs for de oppgitte
rotasjonsenergiene, er dette ikke mulig. Men for lave temperaturer vil leddene i
$$Z = \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1)\exp[-\beta l(l+1)\hbar^2/2I]$$
bli neglisjerbare allerede for moderate verdier av kvantetallet $l$. Dermed kan vi
bryte av summen ved en passende verdi $l_{\rm max}$ og beregne $Z$ numerisk.
Deretter kan vi bruke kjente sammenhenger mellom $Z$ og termodynamiske st{\o}rrelser
og beregne $U$ (indre energi) og til slutt $C_V = \partial U/\partial T$.
Som kjent er
$$U = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta}$$
Det betyr at
$$C_V = \frac{\partial\beta}{\partial T}\frac{\partial U}{\partial\beta}=
\frac{1}{k_B T^2}\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial\beta^2} -
\frac{1}{Z^2}\left( \frac{\partial Z}{\partial\beta} \right)^2  \right)$$
Med eksponenten i $Z$ p{\aa} formen $-\beta l(l+1)k_B T_0$ f{\aa}r vi
$$U=\frac{1}{Z}k_B T_0 \sum_l (2l+1)(l^2+l)\exp[-\beta l(l+1)k_B T_0].$$
Herfra finner vi i neste omgang $C_V/k_B$.


\begin{center}
\includegraphics[height=9cm,angle=0]{cvrot.png}
\end{center}

\vspace{3mm}

I figuren er $C_V/k_B$ beregnet med $l_{\rm max} = 30$. Vi ser at varmekapasiteten
g{\aa}r raskt mot null for $T$ under stoffets karakteristiske rotasjonstemperatur,
og at ekvipartisjonsprinsippet gir riktig resultat for h{\o}ye $T$.
Topp-punktet i $C_V$ skyldes at for $T$ omkring karakteristisk temperatur blir
antall tilgjengelige tilstander med litt h{\o}yere energi stort, pga
degenerasjonsgraden $2l+1$, dvs antall tilstander med en viss rotasjonsenergi. \\

Trippelpunktet for HF, HCl og HI er ved hhv (4350 Pa, 189.8 K), (13800 Pa, 158.8 K)
og (11400 Pa, 222.3 K). Et eksempel p{\aa} sublimasjonstrykket for hver av dem ved
en lavere temperatur er hhv (290 Pa, 165.0 K), (13.3 Pa, 122.3 K) og (133 Pa, 171.9 K).
Disse verdiene gir klare indikasjoner p{\aa} at gassfasen ikke er likevektsfase
ved s{\aa} lave temperaturer som 10 -- 30 K. Trykket i gassen m{\aa}tte i s{\aa}fall
ha v{\ae}rt s{\aa} lavt at det med dagens teknologi ikke er m{\aa}lbart.


\end{document}