\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 7
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}
{\bf $C_V$ og en forsmak p{\aa} kvantemekanikk og statistisk mekanikk} \\

Vi tar for oss de tre hydrogenhalidene HF, HCl og HI. I f{\o}rste omgang
beregner vi de karakteristiske temperaturene med hensyn p{\aa} translasjon,
rotasjon og vibrasjon. Dvs, en temperatur slik at termisk energi $k_B T$
er av samme st{\o}rrelsesorden som energidifferansen mellom de tillatte
kvantiserte energiniv{\aa}ene til molekylet.  \\

Translasjon: \\
Tillatte translasjonsenergier for et molekyl med masse $m$ i en lukket
beholder med sidekanter $L$ er
$$E_{\rm k}^{\rm trans} = 
\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2\right)\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.$$
Kvantetallene $n_x, n_y, n_z$ kan ha verdiene $1,2,3,\dots$. \\

Rotasjon: \\
Tillatte rotasjonsenergier for et molekyl med treghetsmoment $I$ med hensyn
p{\aa} en akse gjennom massesenteret er
$$E_{\rm k}^{\rm rot} = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2I}.$$
Kvantetallet $l$ kan ha verdiene $0,1,2,\dots$. \\

Vibrasjon: \\
Tillatte vibrasjonsenergier for et toatomig molekyl er
$$E_{\rm k}^{\rm vib} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega.$$
Kvantetallet $n$ kan ha verdiene $0,1,2,\dots$. \\

Beregn den karakteristiske translasjonstemperaturen
$$T_{\rm trans} = \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2 k_B}$$
for de tre molekylene n{\aa}r beholderen har sidekanter $L = 1$ cm. \\

Beregn $I$ med hensyn p{\aa} en akse gjennom massesenteret og normalt
p{\aa} molekylets akse, og deretter den karakteristiske rotasjonstemperaturen
$$T_{\rm rot} = \frac{\hbar^2}{2 k_B I}$$
for de tre molekylene. \\

Egenfrekvensen $\nu$ til HF, HCl og HI er henholdsvis 124.0, 86.6 og 66.9 THz. 
Beregn den karakteristiske vibrasjonstemperaturen 
$$T_{\rm vib} = \frac{h\nu}{k_B}$$
for de tre molekylene.

\vspace{1cm}

Du fant antagelig karakteristiske rotasjonstemperaturer hhv ca 30, 15 og 9 K.
Det betyr at det klassiske ekvipartisjonsprinsippet -- dersom vi antar ideelle
gasser som likevektsfase -- ikke kan brukes til {\aa}
bestemme rotasjonsbidraget til $C_V$ ved s{\aa} lave temperaturer.
Bruk de kvantiserte rotasjonsenergiene til {\aa} beregne den tilh{\o}rende
partisjonsfunksjonen $Z_{\rm rot}$ som funksjon av $T$ mellom 0 K og 100 K.
For en gitt verdi av $l$ er det $2l+1$ ulike tilstander, slik at
$$Z_{\rm rot} = \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) \exp[-\beta E_{\rm k}^{\rm rot}],$$
der $\beta = 1/k_B T$ som vanlig. Beregn deretter $C_V^{\rm rot}$ og plott
$C_V^{\rm rot}/k_B$ som funksjon av $T$ mellom 0 K og 100 K for de tre
hydrogenhalidene HF, HCl og HI. \\

Tips (vi dropper indeks rot her): 
\begin{itemize}
\item Beregn $Z$ numerisk ved {\aa} erstatte {\o}vre grense i
summen med en passende (tilstrekkelig stor) maksimal verdi $l_{\rm max}$.
\item Bruk $U = -(1/Z)(\partial Z/\partial\beta)$ og
$C_V/k_B = (1/k_B)(\partial U/\partial T) = 
\beta^2 \left[ (1/Z)(\partial^2 Z/\partial\beta^2)-U^2\right]$. Dvs, finn
et analytisk uttrykk for $C_V/k_B$ med utgangspunkt i den endelige analytiske
summen for $Z$.
\end{itemize}

Sjekk de tre stoffenes sublimasjonstrykk ved lave temperaturer, og bruk dette
til {\aa} konkludere med at ekvipartisjonsprinsippet {\em alltid} kan brukes
for rotasjonsfrihetsgradene til disse forbindelsene.


\end{document}