\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.
\end{bf}

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 7
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}
{\bf Oppgave 1. Adiabatisk demagnetisering} \\

I en tidligere oppgave studerte vi en ideell paramagnet med $N$ ikke-vekselvirkende kvantiserte spinn i et
ytre magnetfelt $\bold{B}$. Hvert spinn kunne peke ''opp'' eller ''ned'' relativt det ytre feltet, slik at
partisjonsfunksjonen (pr spinn) ble $z = 2 \cosh(\mu_B B/k_B T)$, og magnetiseringen (magnetisk
moment pr volumenhet) ble $M/V = (N \mu_B/V) \tanh(\mu_B B/k_B T)$. Hvis feltet er svakt, dvs $\mu_B B \ll k_B T$,
gir dette line{\ae}r respons, $M/V \sim B/T$, dvs Curie's lov. \\

I denne oppgaven skal vi studere entropien til en slik ideell paramagnet. Siktem{\aa}let er deretter
{\aa} kunne beskrive magnetisk kj{\o}ling (adiabatisk demagnetisering). \\

Merk: I {\o}ving 6 var $M$ magnetisk moment pr volumenhet. Her er $M$ rett og slett
totalt magnetisk moment, dvs $M/V$ er magnetisering.  \\

Som i {\o}ving 6 lar vi $m$ angi midlere magnetisk moment pr spinn (eller pr partikkel, om du vil),
men skalert med faktoren $\mu_B$ slik at et gitt magnetisk moment har verdien $+1$ eller $-1$,
og $m$ blir en dimensjonsl{\o}s st{\o}rrelse. Videre lar vi $h = \mu_B B$ representere det ytre magnetfeltet,
dvs $h$ blir en st{\o}rrelse med enhet som energi. Dermed har vi
$$m = \tanh \beta h \;\;\; , \;\;\; z = 2 \cosh \beta h \;\;\;\; (\beta \equiv 1/k_B T),$$
og arbeidet utf{\o}rt av spinnsystemet, pr spinn, n{\aa}r midlere magnetisk moment, pr spinn,
endres fra $m$ til $m+dm$ blir $\dbar w = -h\,dm$. \\

$a)$ Vis at entropien $\sigma$ kan uttrykkes ved partisjonsfunksjonen $z$, som
$\sigma = k_B\, \partial(T \ln z)/\partial T.$ \\

Oppgitt: $f = -k_B T \ln z$, $f = u - T\sigma$, $T d\sigma = du + p\,dv$
(med $f,z,u,\sigma,v$ = hhv Helmholtz fri energi, partisjonsfunksjon, indre energi,
entropi og volum, alle st{\o}rrelser pr spinn).

Tips: Utnytt analogien $p\,dv \rightarrow -h\,dm$. \\

$b)$ Med kjent partisjonsfunksjon $z$ kan dermed entropien $\sigma$ bestemmes. Vis at
$\sigma$, i f{\o}rste omgang som funksjon av $h$ og $\beta$, blir 
$$\sigma = k_B \left[\ln 2 + \ln\cosh \beta h - \beta h \tanh \beta h\right].$$
Du observerer n{\aa} at
$\sigma$ kun avhenger av {\em produktet} $\beta h$, og siden midlere magnetiske moment
$m$ ogs{\aa} er en funksjon av produktet $\beta h$, innser du at entropien m{\aa} kunne
skrives som en funksjon av $m$ alene, $\sigma = \sigma(m)$.
Eliminer $\beta h$ fra $\sigma(\beta h)$ ved {\aa} invertere $m=\tanh(\beta h)$. Vis at dette gir 
$\beta h=\frac{1}{2}\ln\left[(1+m)/(1-m)\right]$. Vis deretter at entropien blir
$$\sigma(m) = k_B \left[\ln 2-\frac{1}{2}(1+m)\ln(1+m)-\frac{1}{2}(1-m)\ln(1-m)\right].$$

\vspace{0.2cm}
$c)$ Alternativt kan entropien bestemmes direkte fra Boltzmanns prinsipp,
$S = N \sigma = k_B \ln W$. 
Anta at et antall $N_+$ og $N_-$ spinn peker henholdsvis med og mot magnetfeltet. 
Totalt magnetisk moment blir dermed $Nm = N_+ - N_-$. Samtidig har vi selvsagt $N = N_+ + N_-$.
Beregn antall mikrotilstander $W$ som er forenlig med et gitt magnetisk moment $Nm$
(dvs med $Nm = N_+ - N_-$ fast) og vis med det at entropien blir som i punkt $b$.

Oppgitt: $\ln N! = N \ln N - N$ n{\aa}r $N\rightarrow\infty$. \\

$d)$ Et spinnsystem som dette kan benyttes til {\aa} oppn{\aa} sv{\ae}rt lave temperaturer ved {\aa} bruke 
adiabatisk demagnetisering. Et kraftig magnetfelt $h_2$ settes p{\aa} isotermt ved 
en (forholdsvis lav) starttemperatur $T_2$. 
Deretter fjernes den termiske koblingen til omgivelsene (varmereservoaret med temperatur $T_2$), 
og magnetfeltet sl{\aa}s av adiabatisk. I praksis, p{\aa} grunn av en svak kobling 
mellom spinnene, ender en opp med et effektivt magnetfelt $h_1>0$ (og ikke $h_1=0$). 
Hva blir resulterende temperatur $T_1$? [Vi antar at andre bidrag til entropien kan neglisjeres.
For lave temperaturer $T$ er spesifikk varme fra kvantiserte gittervibrasjoner $C \propto T^3$, 
slik at bidraget til entropien herfra, $\int (C/T)\,dT$ kan neglisjeres.]

\vspace{2cm}

Arbeidsleddet med magnetiske systemer: \\

Vi foretar utledningen med en lang og tettviklet spole med $N$ viklinger over lengden
$L$, dvs viklingstetthet $n=N/L$. Spolen har en magnetisk kjerne med tverrsnitt $A$,
slik at magnetens volum er $V = AL$. En str{\o}m $I$ i spoletr{\aa}den gir med Amperes lov
$H = n I$, og et magnetfelt $B = \mu_0(H+M/V)$. Her er $M/V$ magnetiseringen i spolekjernen,
dvs magnetisk moment $M$ pr volumenhet. \\

Dersom str{\o}mstyrken $I$ varierer, vil omsluttet fluks $\phi$ variere. If{\o}lge
Faraday f{\aa}r vi n{\aa} en indusert elektromotorisk spenning $-d\phi/dt$, som multiplisert
med str{\o}mstyrken $I$ tilsvarer en effekt eller et arbeid utf{\o}rt pr tidsenhet
p{\aa} omgivelsene (de bevegelige ladningene som utgj{\o}r str{\o}mmen $I$):
$$\frac{\dbar W}{dt} = -\frac{d\phi}{dt}\,I = -NA\frac{dB}{dt}\,I =
-nLA\frac{dB}{dt}\,I = -V\frac{dB}{dt}\,H.$$
Dermed:
$$\dbar W = -VHdB = -V\mu_0 HdH - \mu_0 H dM.$$
Den magnetiske vakuumenergien pr volumenhet er $(1/2)\mu_0 H^2$, s{\aa} det f{\o}rste
leddet tilsvarer endringen i vakuumenergien. Siden systemet er selve materialet, 
blir det kun det siste leddet som representerer utf{\o}rt arbeid av systemet:
$$\dbar W = -\mu_0 H dM.$$



\end{document}