<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagenumbering{arabic}
\usepackage{bok,makro}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\sf TFY4250 Atom- og molekylfysikk/FY2045 Kvantefysikk,  2012 - øving 1}{}


\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
  \pdffalse
\else
  \pdfoutput=1
  \pdftrue
\fi

\ifpdf
  \usepackage[pdftex]{graphicx}
  \pdfcompresslevel=9
\else
  \usepackage{graphicx}
\fi



\topmargin -5mm
\oddsidemargin 1mm
\textheight 240mm


\begin{document}

% For hver figur som inkluderes
%
\ifpdf
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-.png}
%\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-1.eps}
%\end{center}
\fi



%\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}


%\noindent Frist for innlevering: \emph{                      }% NBNBNBNBNBNBNBN
\begin{center}{\Large\bf  ØVING 1}\end{center}


\subsection*{\underline{Oppgave 1A}\h{4mm}{\small Forventningsverdien  $\FV{K}$ av den kinetiske energien}}

\pkt{a} I Tillegg 2 (se under Lærebok på hjemmesiden) har vi sett hvordan en 
 en hermitesk operator $\Fop$ kan ``flyttes'', 
 \[\int(\Fop\Psi_1)^{\Ast}\Psi_2d\tau=\int\Psia_1\Fop\Psi_2d\tau,\]
(fra å virke på $\Psi_1$ til å virke på $\Psi_2$, forutsatt at disse er kvadratisk integrerbare). \footnote{Dette knepet får du bruk for også i oppgave 2.} Herav følger at
 \[ \FV{p_x^2}_{\Psi}=\int\Psia\widehat{p}_x\widehat{p}_x\Psi d\tau=\int(\widehat{p}_x\Psi)^{\Ast}(\widehat{p}_x\Psi)d\tau,\quad{\rm osv}.\]
 Bruk dette    til å vise at forventningsverdien av den kinetiske energien kan skrives på formen
 \[ \FV{K}_{\Psi}=\frac{\hs^2}{2m}\int|\nabv\,\Psi|^2d\tau.\]
[Gradienten av $\Psi$ (altså $\nabv\Psi$) forteller hvor raskt $\Psi$ endrer seg. Moralen er at $\FV{K}$ er større jo mer variasjon vi har i bølgefunksjonen.]

\pkt{b} Finn størrelse og retning av  $\nabv\psi$ for grunntilstanden $\;\psi=(\pi a^3)^{-1/2}\exp(-r/a)\;$ for et hydrogenlignende system, og vis at $\FV{K}$ for denne tilstanden er lik $\hs^2/(2ma^2)$, som vi gjenkjenner som $-E$, der $E$ er grunntilstandsenergien. (Hint: For en funksjon $f$ som avhenger bare av $r$, er gradienten $\;\nabv f=\er\,\pde f/\pde r$. Merk også at $\psi$ er normert, og at dens gradient kommer ut proporsjonal med $\psi$.) 
 

\subsection*{\underline{Oppgave 1B}\h{4mm}{\small Måling av degenerert egenverdi}}

Først en repetisjon av målepostulatet:

En måling av en observabel $F$ må gi en av egenverdiene $f_n$, og vil etterlate systemet i en egentilstand som svarer til den målte egenverdien. Dette innebærer at den delen av bølgefunksjonen \emph{før} målingen som ikke er forenlig med måleverdien $f_n$ ``skrelles bort'' i måleprosessen. Det er dette som ofte kalles ``kollaps av bølgefunksjonen''.

\pkt{a} Anta at et hydrogenatom er preparert i tilstanden
\[ \psi_A=0.8\,\psi_{100}+0.5\,\psi_{210}+0.3\,\psi_{310}+0.1\,\psi_{420}+0.1\,\psi_{430}.\]
Sjekk at denne tilstanden er normert. (Hint: Egenfunksjonssettet $\psi_{nlm}$ er ortonormert.) Hva blir måleresultatet dersom $z$-komponenten $L_z$ av dreieimpulsen måles for dette atomet? Hva blir tilstanden til atomet \emph{etter} målingen av $L_z$? 

\pkt{b} Hva er sannsynligheten $P_4$ for at en måling av energien til dette atomet gir resultatet $E_4$, og hva blir tilstanden etter en måling med dette resultatet? (Husk at tilstanden skal normeres.)

\pkt{c} Hvordan kan vi gå fram videre for å preparere enten tilstanden $\psi_{420}$ eller tilstanden $\psi_{430}$?

\pkt{d} Anta nå at vi har et H-atom preparert i tilstanden
\[ \psi_B=0.8\,\psi_{320}+0.6\,\psi_{410}.\]
Forklar hvorfor det er umulig å preparere denne tilstanden ved hjelp av målinger av de kompatible observablene $E,\,\ve{L}^2$ og $L_z$. Forklar også hvorfor det er tilstrekkelig å måle én av observablene $E$ eller $\ve{L}^2$ for å ``kollapse'' denne tilstanden til enten $\psi_{320}$ eller $\psi_{410}$. 





\subsection*{\underline{Oppgave 2}\h{4mm}{\small Uskarphetsrelasjonen}}

I forelesningene har vi lært at operatorer som kommuterer, kan ha {\bf simultane egenfunksjoner}. Når systemet er preparert i en slik egentilstand, vil de tilhørende observablene ha skarpe verdier samtidig. Disse observablene er altså {\bf kompatible}, som vi sier.  

Omvendt er det slik at når to operatorer \emph{ikke} kommuterer, slik vi  har i tilfellet
 \[  [x,\widehat{p}_x]=i\hs,\]
så \emph{kan} ikke observablene ha skarpe verdier samtidig; det finnes ingen simultane egentilstander til de to operatorene. Observablene er da {\bf ikke-kompatible}. Dette resulterer i  {\bf Heisenbergs uskarphetsrelasjon} for de to observablene: 
 \[ \Delta x\prikk\Delta p_x\geq\hal|\FV{i[x,\widehat{p}_x]}|=\hal\hs.\]
Oppgaven går ut på å vise dette, eller egentlig en mer generell utgave av denne uskarphetsrelasjonen:

\pkt{a} La $A$ og $B$ være to observable, og $\widehat{A}$ og $\widehat{B}$ de tilhørende hermitske operatorene. Vis først at operatoren $\;i[\widehat{A},\widehat{B}]\,$ er hermitesk (slik at den har reelle forventningsverdier og egenverdier). [Hint: Vis at denne operatoren er selvadjungert; jf regelen \M{(\Aop\Bop\Cop)^{\dag}=\Cop^{\dag}\Bop^{\dag}\Aop^{\dag}} i ``Tillegg 2''.]

\pkt{b} Når $\widehat{A}$ og $\widehat{B}$ er hermiteske, blir også operatorene $\;\bar{A}\equiv\widehat{A}-\FV{A}\;$ og $\;\bar{B}\equiv\widehat{B}-\FV{B}\;$ hermiteske. Her er $\FV{A}$ og $\FV{B}$ forventningsverdiene av observablene $A$ og $B$ i en vilkårlig tilstand. Legg merke til at \M{\FV{\bar{A}^2}=\FV{(A-\FV{A})^2}=(\Delta A)^2} osv, der $\Delta A$ er usikkerheten i observabelen $A$ i vedkommende tilstand. Overbevis deg om at \M{[\bar{A},\bar{B}]=[\widehat{A},\widehat{B}].}

\pkt{c} Kunstgrepet i denne oppgaven er å betrakte det åpenbart ikke-negative integralet
 \[ I(\A)\equiv\int|(\bar{A}+i\A\bar{B})\Psi|^2d\tau=\int(\bar{A}\Psi+i\A\bar{B}\Psi)^{\Ast}(\bar{A}\Psi+i\A\bar{B}\Psi)d\tau\geq0,\]
der $\Psi$ er en vilkårlig (normert) funksjon og $\A$  en valgbar reell parameter. Vis ved å multiplisere ut uttrykket til høyre at
 \[ I(\A)=(\Delta A)_{\Psi}^2+\A^2(\Delta B)_{\Psi}^2+\A\FV{i[\widehat{A},\widehat{B}]}_{\Psi},\]
(hvor alle de tre leddene er reelle). [Husk at $\bar{A}$ og $\bar{B}$ er hermiteske og kan ``flyttes'', men at de ikke nødvendigvis kommuterer.]

\pkt{d} Finn minimum av $I(\A)$ ved å derivere mhp $\A$, og bruk dette til å utlede den generaliserte uskarphetsrelasjonen
  \[ (\Delta A)_{\Psi}(\Delta B)_{\Psi}\geq\hal\LT|\FV{i[\widehat{A},\widehat{B}]}_{\Psi}\RT|.\]


\pkt{e} Når de to operatorene oppfyller relasjonen
 \[ [\widehat{A},\widehat{B}]=i\hs,\]
sier vi at de er {\bf kanonisk konjugerte}. Vis at den resulterende uskarphetsrelasjonen har Heisenbergs uskarphetsrelasjon for $x$ og $p_x$ som spesialtilfelle.

\pkt{f} Hvor stor må minimalverdien av integralet $I(\A)$ være for at usikkerhetsproduktet\newline $\,\Delta x\cdot\Delta p_x\,$ skal bli lik minimalverdien $\hal\hs\,$? (Side 78 i Hemmer og side 215 i Bransden \&amp; Joachain kan du se hva dette fører til for bølgefunksjonen $\Psi$.)

\end{document}


Anta at et ensemble av hydrogenatomer er preparert i en normert tilstand 
 \[ \psi=c_{100}\psi_{100}+c_{200}\psi_{200}+c_{210}\psi_{210}+c_{211}\psi_{211}+c_{21-1}\psi_{21-1}+c_{300}\psi_{300}+\cdots,\]
med bidrag fra en lang rekke av bundne energiegentilstander for H-atomene.

\pkt{a} Hva er den fysiske tolkningen av koeffisientene $\;c_{100},\,c_{200}$\, og $\,c_{211}$?
Hva er normeringsbetingelsen?

\pkt{b} Hva er sannsynligheten for at en måling av energien (på dette ensemblet) gir energien $E_2$ (for første eksiterte nivå)?

\pkt{c} Hva blir tilstanden etter denne målingen for det ``sub-ensemblet'' av atomer som gir resultatet $E_2$? Hva er sannsynligheten for at en måling av størrelsen $|\vel|$ av dreieimpulsen på det nevnte sub-ensemblet gir resultatet null?
Hva blir tilstanden for de atomene som fikk målt $|\vel|$ til null?






Betrakt en partikkel med masse $m$ i en éndimensjonal boks (uendelig potensialbrønn) med lengde $L$, slik at \M{V=0} for \M{0&lt;x&lt;L} og uendelig utenfor. Finn og skissér grunn\-tilstanden $\psi_1(x)$ og 1.\ og 2.\ eksiterte tilstand $\psi_2(x)$ og $\psi_3(x)$ for partikkelen i boksen, samt de tilhørende energiene, ved å benytte at boksen ``gir plass til et helt antall halve bølgelengder''. 
Overbevis deg om at  \underline{av disse tre} (normerte) funksjonene er det grunntilstanden $\psi_1(x)$ som minimaliserer 
 \[ \FV{K}_{\psi}=\frac{\hs^2}{2m}\int|\pde\psi/\pde x|^2dx.\]
[Hint: For boksen er $\;\FV{K}=\FV{E}$ (siden $V=0$), og for en energiegenfunksjon er $\,\FV{E}=E$.]

Hvorfor finnes det ingen \emph{andre} normerte funksjoner $\psi(x)$ [med $\psi(0)=\psi(L)=0$] som gir mindre $\FV{K}$ enn for grunntilstanden?\newline
Hint: Alle slike funksjoner $\psi(x)$ kan utvikles i energiegenfunksjonene $\psi_n(x)$ for boksen,
 \[ \psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x),\qquad\mbox{med}\quad \sum |c_n|^2=1.\]
Her er $|c_n|^2$ ifølge målepostulatet sannsynligheten for å måle energien $E_n$. Bruk dette til å vise at forventningsverdien \M{\FV{K}=\FV{E}} da må bli $\;\geq E_1$ for alle slike tilstander $\psi(x)$.

\pkt{c}  Skissér de tilsvarende energiegenfunksjonene for en partikkel med masse $m$ som befinner seg i en \emph{firkantbrønn} med samme lengde $L$ som boksen. ($V=0$ inne i brønnen, $V=V_0$ utenfor. Vi forutsetter at brønnen har tilstrekkelig dybde $V_0$ og vidde $L$ til å gi plass til minst tre bundne tilstander.) Hvilken funksjonsform har de tre egenfunksjonene inne i brønnen?
 Argumentér ut fra dette for at  energiene for de tre brønnløsningene er lavere enn de respektive boks-energiene.









</pre></body></html>