<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagenumbering{arabic}
\usepackage{bok,makro}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\sf TFY4250 Atom- og molekylfysikk/FY2045 Kvantefysikk,   øving 13}{}


\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
  \pdffalse
\else
  \pdfoutput=1
  \pdftrue
\fi

\ifpdf
  \usepackage[pdftex]{graphicx}
  \pdfcompresslevel=9
\else
  \usepackage{graphicx}
\fi



\topmargin -5mm
\oddsidemargin 1mm
\textheight 240mm
%\newcommand{\hhat}{\hat{H}}


\begin{document}

% For hver figur som inkluderes
%
\ifpdf
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-.png}
%\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-1.eps}
%\end{center}
\fi



%\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}


%\noindent Frist for innlevering: \emph{                      }% NBNBNBNBNBNBNBN
\begin{center}{\Large\bf  ØVING 13}\end{center}



\subsection*{\underline{Oppgave 38}\h{4mm}{\small Spinn $\hal$}}

\pkt{a} At en partikkel har spinn $s=\hal$ betyr at \emph{størrelsen} av den indre dreieimpulsen (spinnet $\ve{S}$) er bastet og bundet til \M{|\ve{S}|=\hs\sqrt{s(s+\hal)}=\hs\sqrt{\hal(\hal+1)},} mens de mulige egenverdiene (spektret) til $z$-komponenten av spinnvektoren er \M{S_z=\hal\hs} og \M{S_z=-\hal\hs.} Til disse to tilstandene svarer det i kvantemekanisk teori to vektorer (i et abstrakt to-dimensjonalt vektorrom):
\[ \mbox{spinn opp }(S_z=\hal\hs)\mbox{ svarer til den abstrakte vektoren }\;\;\ket{\mbox{spinn opp}}\equiv\ket{\po}\equiv\ket{s=1,m=\hal},\]
\[ \mbox{spinn ned }(S_z=-\hal\hs)\mbox{ svarer til den abstrakte vektoren }\;\;\ket{\mbox{spinn ned}}\equiv\ket{\pn}\equiv\ket{s=1,m=-\hal}.\]
Den mest generelle tilstanden for dette spinnet er da en lineærkombinasjon av disse to basis-vektorene:
 \[\ket{\chi}=a\ket{\rm spinn\;opp}+b\ket{\rm spinn\;ned}.\]
Analogt med at en ordinær to-dimensjonal vektor \M{\ve{A}=A_x\ex+A_y\ey} kan representeres av søylematrisen $\bma{c}A_x\\A_y\ema$, kan spinntilstanden representeres ved søylematrisen
 \[\chi=\bma{c}a\\b\ema, \]
og normeringsbetingelsen kan skrives som 
 \[ \chi^{\dag}\chi=(a^{\Ast}\;\;b^{\Ast})\bma{c}a\\b\ema=|a|^2+|b|^2=1.\]
Her er $a$ sannsynlighetsamplituden for å måle \M{S_z=\hal\hs} (spinn opp) og $b$ er amplituden for å måle spinn ned.

\pkt{a} Vis at Pauli-spinorene \M{\chi_+=\bma{c}1\\0\ema} og \M{\chi_-=\bma{c}0\\1\ema} er egentilstander til matrise-operatorene 
 \[ \ve{S}^2=\frac{3}{4}\hs^2\bma{cc}1&amp;0\\0&amp;1\ema\equiv\frac{3}{4}\hs^2\enhetsmatrise\OG{10}S_z=\hal\hs\bma{cc}1&amp;0\\0&amp;-1\ema,\]
og at egenverdiene harmonerer med at $\chi_+$ og $\chi_-$ beskriver spinn opp og spinn ned.

\pkt{b} Som forklart i forelesningene, representeres operatorene $\;\hats_x,\,\hats_y,\,\hats_+$ og $\hats_-$ ved matrisene
 \[ S_+=\hal\hs\bma{cc}0&amp;2\\0&amp;0\ema\equiv\hal\hs\si_+,\qquad S_-=\hal\hs\bma{cc}0&amp;0\\2&amp;0\ema\equiv\hal\hs\si_-,\]
\[ S_x=\hal\hs\bma{cc}0&amp;1\\1&amp;0\ema\equiv\hal\hs\si_x,\qquad S_y=\hal\hs\bma{cc}0&amp;-i\\i&amp;0\ema\equiv\hal\hs\si_y.\]
Regn ut $S_+\chi_+$ og $S_+\chi_-$ og kontrollér at resultatene stemmer med den generelle formelen
 \[ \hatl_+f_{lm}=\hs\sqrt{(l-m)(l+1+m)}\,f_{l,m+1}\]
som vi fant i forelesningene.

\pkt{c} I tilstanden \M{\chi=\bma{c}a\\b\ema} beregnes forventningsverdien av f.eks $S_z$ vha ``hamburgerformelen''
 \[ \FV{S_z}_{\chi}=\chi^{\dag}S_z\chi=(a^{\Ast}\;\;b^{\Ast})\hal\hs\bma{cc}1&amp;0\\0&amp;-1\ema\bma{c}a\\b\ema.\]
Regn ut denne, og kontrollér at resultatet stemmer med sannsynlighetstolkningen av koeffisientene $a$ og $b$.

\pkt{d} Beregningen ovenfor gir også resultatet for $\FV{\siz}_{\chi}$. Vis tilsvarende at 
\[\FV{\six}_{\chi}=\RE(2a^{\Ast}b)\OG{10}\FV{\siy}_{\chi}=2\IM(2a^{\Ast}b).\]
Finn vektoren $\FV{\siv}=\ex\FV{\six}+\ey\FV{\siy}+\ez\FV{\siz}$ for tilstanden $\,\chi_=\bma{c}\cos\hal\theta\\\sin\hal\theta\ema$.  Se  på spesialtilfellene \M{\theta=0,\;\theta=\pi} og \M{\theta=\hal\pi.} Hva venter du å finne for $S_x\chi$ i det siste tilfellet?
Er det fornuftig å kalle $\FV{\siv}$ for {\bf spinnretningen?} 



\subsection*{\underline{Oppgave 39}\h{4mm}{\small Mer spinn $\hal$ (eksamensoppgave, litt modifisert)}}

For en partikkel med spinn $\hal$ kan en som vi nettopp har sett representere spinnoperatoren ved matrise-operatoren
 \[ \ve{S}=\hal\hs\siv=\hal\hs(\ex\six+\ey\siy+\ez\siz),\]
der 
 \[ \six=\bma{ll}0&amp;1\\1&amp;0\ema,\qquad\siy=\bma{rr}0&amp;-i\\i&amp;0\ema,\qquad\siz=\bma{rr}1&amp;0\\0&amp;-1\ema\]
er de såkalte Pauli-matrisene.
I denne oppgaven antar vi at noen har preparert  et ensemble av slike spinn  i tilstanden
 \[ \chi=1/\sqrt{2}\bma{l}1\\0\ema+e^{i\A}/\sqrt{2}\bma{l}0\\1\ema=\frac{1}{\sqrt{2}}\bma{c}1\\e^{i\A}\ema=\bma{c}1/\sqrt{2}\\e^{i\A}/\sqrt{2}\ema,\]
men uten å fortelle oss hvor stor vinkelen $\A$ er.

\pkt{a} $\bullet$Vis at tilstanden $\chi$ er normert. Anta at $S_z$ måles for dette ensemblet. $\bullet$Hva er sannsynlighetene for å måle henholdsvis \M{S_z=+\hal\hs} og \M{S_z=-\hal\hs?} $\bullet$Gir disse målingene informasjon om vinkelen $\A$? $\bullet$Hva skjer med tilstanden til  spinnet etter målingen av $S_z$?

\pkt{b} I forrige oppgave så vi  at forventningsverdien av $\ve{S}$ for en normert spinntilstand \M{\chi=\bma{c}a\\b\ema} er 
 \[ \FV{\ve{S}}=\hal\hs\FV{\siv}=\hal\hs\,\LT(\ex\FV{\six}+\ey\FV{\siy}+\ez\FV{\siz}\RT),\]
der
 \[ \FV{\six}=\RE(2a^{\Ast}b), \qquad\FV{\siy}=\IM(2a^{\Ast}b),\qquad\FV{\siz}=|a|^2-|b|^2.\]
Vektoren $\FV{\siv}$  angir {\bf spinnretningen} for spinntilstanden $\chi=\bma{c}a\\b\ema$. Beregn $\FV{\siv}$ for tilstanden oppgitt innledningsvis, og finn på den måten \emph{den fysiske betydningen} av vinkelen $\A$. 

\noindent$\bullet$ Hvordan ville du gå fram for å teste  resultatet for $\FV{\siv}$ for tilstanden $\chi$ eksperimentelt (det vil bl.a si å finne vinkelen $\A$)? [Hint: Du får lov å gjenta prepareringen av tilstanden $\chi$ så mye du vil, og du står fritt til å måle hvilke som helst komponenter av $\ve{S}$.]

\pkt{c} Etter prepareringen av tilstanden $\chi$ står vi som nevnt fritt til å måle hvilken som helst komponent $\hatn\prikk\ve{S}$ av spinnet.
$\bullet$ Hva blir forventningsverdien om vi måler komponenten i retningen $\;\hatn=\FV{\siv}$, altså komponenten $\FV{\siv}\prikk\ve{S}$, der $\FV{\siv}$ er retningsvektoren funnet ovenfor?

Det opplyses at de mulige måleresultatene er $\pm\hal\hs$, uansett hvilken komponent av $\ve{S}$ vi måler. $\bullet$Argumentér for at den oppgitte tilstanden $\chi$ da må være en egentilstand til operatoren $\FV{\siv}\prikk\ve{S}$, og angi egenverdien.

%\pkt{d} \emph{Utled} formlene \M{\FV{\six}=\RE(2a^{\Ast}b)} osv, 
%som ble oppgitt i \PKT{b}.






\subsection*{\underline{Oppgave 40}\h{4mm}{\small Spinn 1}}


For en partikkel med spinn $\,s=1$ ($|\ve{S}|=\hs\sqrt{1(1+1)}=\sqrt{2}\,\hs$) kan $S_z$ ha verdiene $\,\hs,\,0$ og $-\hs$. Med disse tre tilstandene kan vi assosiere tre abstrakte vektorer:
 \ba \ket{s=1,m=1} &amp;\equiv&amp; \ket{1,1}\equiv\ket{1},\\
\ket{s=1,m=0} &amp;\equiv&amp; \ket{1,0}\equiv\ket{0}\OG{4}\\
\ket{s=1,m=-1} &amp;\equiv&amp; \ket{1,-1}\equiv\ket{-1}.\ea
Den mest generelle tilstanden for dette systemet, vektoren
 \[ \chi=a\ket{1}+b\ket{0}+c\ket{-1},\]
kan vi representere ved en søylematrise 
 \[ \bma{c}a\\b\\c\ema.\]


\pkt{a} Skriv ned de tre søylematrisene $\chi_m$ som representerer de tre tilstandsvektorene   $\,\ket{1},\,\ket{0}$ og $\ket{-1}$, og kontrollér at matrise-operatoren
 \[ S_z=\hs\bma{ccc}1&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;-1 \ema\]
anvendt på matrisene $\chi_m$ gir de korrekte egenverdiene.

\pkt{b} Hvilke egenverdier (og måleresultater) venter du å finne for komponenten $S_x$ av dette spinnet?

\pkt{c} Anta at spinnet er i tilstanden
 \[ \chi=\bma{c}1/2\\1/\sqrt{2}\\1/2\ema.\]
Påvis at $\chi$ er normert. Hva er sannsynlighetene for å måle $\,S_z=\hs,\,0$ og $-\hs$, og hva er forventningsverdien av $S_z$, i denne tilstanden?

\pkt{d} Fra relasjonene \M{S_{\pm}\chi_{1,m}=\hs\sqrt{(1\mp m)(1+1\pm m)}\chi_{1,m\pm1}} kan en overbevise seg om at stigeoperatorene $\hats_+$ og $\hats_-$ for spinn 1 representeres av matrisene
 \[ S_+=\hs\bma{ccc}0&amp;\sqrt{2}&amp;0\\0&amp;0&amp;\sqrt{2}\\0&amp;0&amp;0\ema\OG{12}S_-=S_+^{\dag}=\hs\bma{ccc}0&amp;0&amp;0\\\sqrt{2}&amp;0&amp;0\\0&amp;\sqrt{2}&amp;0\ema,\]
slik at
 \[ S_x=\hal(S_++S_-)=\frac{\hs}{\sqrt{2}}\bma{ccc}0&amp;1&amp;0\\1&amp;0&amp;1\\0&amp;1&amp;0\ema\OG{12}S_y=\frac{1}{2i} =\hal(S_+-S_-)=\frac{\hs}{\sqrt{2}}\bma{ccc}0&amp;-i&amp;0\\i&amp;0&amp;-i\\0&amp;i&amp;0\ema.\]
Vis at den oppgitte tilstanden $\chi$ er en egentilstand til $S_x$ og finn egenverdien.

\pkt{e} Finn egentilstanden til $S_x$ med egenverdi lik 0. [Hint: Sett \M{\chi=\bma{c}a\\b\\c\ema} og løs egenverdiligningen $\;S_x\bma{c}a\\b\\c\ema=0\bma{c}a\\b\\c\ema$.]







\end{document}





</pre></body></html>