<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagenumbering{arabic}
\usepackage{bok,makro}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\sf  FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I,   løsning øving 13}{}


\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
  \pdffalse
\else
  \pdfoutput=1
  \pdftrue
\fi

\ifpdf
  \usepackage[pdftex]{graphicx}
  \pdfcompresslevel=9
\else
  \usepackage{graphicx}
\fi



\topmargin -5mm
\oddsidemargin 1mm
\textheight 240mm



\begin{document}

% For hver figur som inkluderes
%
\ifpdf
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-1.png}
%\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-1.eps}
%\end{center}
\fi



%\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}



\begin{center}{\Large\bf LØSNING ØVING 13}\end{center}



\subsection*{\underline{Løsning Oppgave 13 -- 1}\h{4mm}{\small Transient perturbasjon av harmonisk oscillator }}


\pkt{a} Med kraften \M{F(t)=q{\cal E}(t)=F_0\exp(-t^2/\tau^2)} og sammenhengen
\M{F(t)=-dV(x,t)/dx} kan vi bruke perturbasjonsleddet
  \[   V(x,t)=-xF(t)=-xF_0e^{-t^2/\tau^2}.\]
(Vi kan her betrakte $F_0$ som en ``litenhetsparameter''.)
\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=4cm,angle=0]{fig4258-13-2.png}\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-1.eps}\end{center}
\fi
Vi ser at "mesteparten" av perturbasjonen foregår i et tidsintervall $2\tau$.

\pkt{b} 

\noindent Matrise-elementene av perturbasjonen \M{\widehat{V}=-\xop\,F(t)} er
\footnote{Mer generelt har vi at
 \[\xop\ket{n}=\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}(a+\ad)\ket{n}=\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}\LT(\sqrt{n}\,\ket{n-1}+\sqrt{n+1}\,\ket{n+1}\RT),\]
som gir 
\[ \bra{n'}\xop\ket{n}=\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}\LT(\sqrt{n}\,\D_{n',n-1}+\sqrt{n+1}\,\D_{n',n+1}\RT).\]
Matrise-elementene $\bra{n'}\xop\ket{n}$ er altså lik null unntatt for \M{n'-n\equiv\Delta n=\pm1.} Med en perturbasjon $\,\widehat{V}\propto\xop\,$ får vi da til 1.\ orden bare overganger med \M{\Delta n\equiv n'-n=\pm1.}
Dette kaller vi en {\bf utvalgs\-regel}.}
  \ba V_{n0}(t) &amp;=&amp;  \bra{n}\widehat{V}(t)\ket{0}=-F(t)\bra{n}\xop\ket{0}\\
  &amp;=&amp; -F(t)\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}\bra{n}(a+\ad)\ket{0}=-F(t)\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}\;  \D_{n1} ,\ea
idet
\footnote{Merk at matrise-elementet også kan skrives som et integral:
\[ V_{n0}(t)=-F(t)\int\psia_n\,x\,\psi_0dx.\]
Siden \M{x\psi_0\propto\psi_1,} er dette integralet forskjellig fra null bare for $\,n=1$.} 
\[ \ad\,\ket{0}=\ket{1},\qquad a\,\ket{0}=0\OG{6}\scpr{n}{1}=\D_{n1}.\]
Til første orden er altså overgangsamplitudene 
\M{a_{0\rpil n}^{(1)}(t)}  lik null, unntatt for
\M{n=1,} dvs vi har bare overgang til første eksiterte tilstand. Ved hjelp av
den oppgitte integralformelen finner vi overgangsamplituden og den tilhørende
overgangssannsynligheten,
  \ba a_{0\rpil 1}^{(1)}(\infty) &amp;=&amp; \frac{1}{i\hs}\intuu V_{10}(t)e^{i\om_{10}t}dt\h{2cm}
  (\mbox{der}\h{3mm}\om_{10}=(E_1-E_0)/\hs=\om\;)\\
  &amp;=&amp; \frac{-F_0}{i\hs}\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}\intuu
  dt\,e^{-t^2/\tau^2}e^{i\om t}
  =iF_0\sqrt{\frac{\pi}{2m\hs\om}}\;\;\tau\,e^{-\tau^2\om^2/4}, \ea
og
  \[  P_{0\rpil1}(\infty) 
  = \frac{\pi F_0^2}{2m\hs\om}\,\tau^2\,e^{-\tau^2\om^2/2}. \]


\pkt{c} I grensen \M{\tau\rpil0,} altså når perturbasjonen blir {\em svært}
kortvarig eller "plutselig", ser vi at \M{P_{0\rpil1}\rpil0,} dvs vi får ingen
overgang. Dette er i tråd med den generelle diskusjonen i forelesningene, der vi
kom fram til at tilstanden er uendret under plutselige endringer av
Hamilton-operatoren; bølgefunksjon og tilstandsvektor endrer seg ifølge
tilstandsligningen med "endelig hastighet", og rekker derfor ikke å henge med på
slike plutselige endringer. 

Også i grensen \M{\tau\rpil\infty} ser vi at \M{P_{0\rpil1}\rpil0.}
I denne grensen har vi en {\em svært langsom} endring av kraften, altså en
såkalt adiabatisk endring av Hamilton-operatoren. Ifølge diskusjonen i forelesningene skal systemet da forbli i grunntilstanden (både under og etter den
adiabatiske endringen av Hamilton-operatoren). Det siste  bekreftes i denne
beregningen; overgangssannsynligheten ovenfor går som vi ser veldig raskt mot null for stor og økende ``varighet'' $\tau$ av perturbasjonen.

Den maksimale overgangssannsynligheten $P_{0\rpil1}^{\rm max}$ finnes ved derivasjon av
$P_{0\rpil1}$ med hensyn på $\tau$, for
  \[ \tau_m=\sqrt{2}/\om. \]
Figuren under \PKT{a} viser at mesteparten av perturbasjonen gjøres unna i løpet
av tiden $2\tau$, som her blir rundt regnet $\;2\tau_m\approx3/\om$, 
altså ca.\ halvparten av
periodetiden, $T=2\pi/\om$. Som du kanskje husker fra diskusjonen i forelesningene, er
en perturbasjon over en halv-periode en effektiv sak klassisk, og det samme er
altså tilfelle i dette kvantemekaniske eksemplet.

\pkt{d} $\tau=\tau_m$ gir en maksimal overgangssannsynlighet
  \[ P_{0\rpil1}^{\rm max}=\pi e^{-1}\frac{
  F_0^2}{m\hs\om^3}\equiv\frac{\pi}{e}\frac{F_o^2}{F_h^2}, \]
der \M{F_h\equiv\sqrt{m\hs\om^3}} som nevnt må ha dimensjon {\em kraft,} og må
være en {\em karakteristisk\,} kraft for oscillatoren. Det viser seg at $F_h$ er
størrelsen av den harmoniske kraften ved vendeavstanden for grunntilstanden,
\M{x_0=\sqrt{\hs/m\om}.} 
Med potensialet $\hal m\om^2x^2$, dvs.\ fjærkonstanten $\;k=m\om^2$, er den
sistnevnte kraften nemlig
  \[ |-kx_0|=m\om^2\sqrt{\hs/m\om}=\sqrt{m\hs\om^3},\qed\]

Resultatet ovenfor forteller at når en velger den "mest effektive" varigheten
\M{\tau=\tau_m,} så er overgangssannsynligheten til første eksiterte tilstand
ifølge 1.-ordens perturbasjonsteori \M{ P_{0\rpil1}^{\rm max}=(\pi/e)(F_0^2/F_h^2).}
Førsteordens perturbasjonsteori er bare nøyaktig så lenge amplitudene er
tilnærmet lik de verdiene de hadde i begynnelsestilstanden. I dette tilfellet
vil dette si så lenge overgangssannsynligheten(e) er mye mindre enn 1. Vi kan
altså bare stole på første-ordens-resultatet når \M{F_0^2&lt;&lt;F_h^2} (når $\tau=\tau_m$).

Tilfellet \M{F_0&gt;&gt;F_h} ligger derfor langt utenfor gyldighetsområdet for
1.-ordens teori (untatt når $\tau$ er veldig liten eller veldig stor, som vi skal se nedenfor). Dette kommer også tydelig fram ved at første-ordens-resultatet $P_{0\rpil1}^{\rm max}$ da blir
mye større enn 1, hvilket selvsagt er feil. Det som skjer ved en slik
kraftig perturbasjon (med \M{\tau=\tau_m)} er at en lenge før perturbasjonen er
over får en betydelig overgang til andre tilstander, først til 1.\ eksiterte, og
så snart amplituden i denne begynner å vokse, også overgang fra denne til 2.\
eksiterte (og forsåvidt også tilbake til grunntilstanden). Slik fortsetter det,
med overgang til stadig flere tilstander, helt til perturbasjonen er forbi. Hvor
langt opp i de eksiterte tilstandene en finner vesentlige
overgangssannsynligheter til slutt, avhenger av {\em hvor\,} stor $F_0$ er i
forhold til $F_h$. Ved perturbasjoner av "makroskopisk" styrke kan en danne seg
et begrep om resultatet ved å regne klassisk.

Rent teknisk kan en beregne overgangsamplitudene til tilstander med \M{n\geq2}
ved å iterere som i forelesningene.

\pkt{e} For generelle verdier av $\tau$ kan overgangssannsynligheten uttrykkes
slik:
  \[ P_{0\rpil1}=\pi\frac{F_0^2}{F_h^2}\frac{\tau^2}{\tau_m^2}\,e^{-\tau^2/\tau_m^2}.
  \]
For $\tau$ av størrelsesorden $\tau_m$ eller mindre er
$\pi\exp(-\tau^2/\tau_m^2)$ av størrelsesorden 1. For at førsteordens
perturbasjonsteori skal være gyldig, dvs for at $P_{0\rpil1}$ skal være liten, må
da
  \[ (F_0\tau)^2&lt;&lt;(F_h\tau_m)^2,\qed \]
\begin{quote}
Kommentar: Den overførte impulsen er 
  \[ \Delta p=\intuu F_0e^{-t^2/\tau^2}dt=F_0\sqrt{\pi\tau^2}=\tau
  F_0\sqrt{\pi},\qed\]
For grunntilstanden, som har energien \M{E_0=\hal \hs\om,} kan vi kalle
\M{p_0\equiv\sqrt{2mE_0}=\sqrt{m\hs\om}} for en karakteristisk impuls. (Det er
impulsen for \M{x=0,} når en regner klassisk). Dermed er
  \[ F_h\tau_m=\sqrt{m\hs\om^3}\sqrt{2}/\om
  =\sqrt{2m\hs\om}=\sqrt{2}\,p_0,\qed,\]
og vi kan skrive
  \[ P_{0\rpil1}=\frac{(\Delta p)^2}{2p_0^2}\,e^{-\tau^2/\tau_m^2}. \]
Gyldighetskriteriet  blir derfor
  \[ (\Delta p)^2&lt;&lt;p_0^2,\h{10mm}\mbox{(for\h{3mm}}\tau
  \stackrel{&lt;}{\sim}\tau_m).   \]
\end{quote}
Så til tilfellet \M{\tau\stackrel{&gt;}{\sim}\tau_m.}
Klassisk fant vi at en tilnærmet konstant perturbasjon over mange perioder, som
selvsagt gir en stor overført impuls, ikke ga huskeren særlig fart. 
Den overførte impulsen er derfor mindre relevant her. Kriteriet
for å få $\;P_{0\rpil1}&lt;&lt;1\;$ kan vi derfor heller formulere slik:
  \[ \frac{F_0^2}{F_h^2}&lt;&lt;\frac{\tau_m^2}{\tau^2}\,e^{\tau^2/\tau_m^2}
  \;\h{13mm}\mbox{(for alle}\h{4mm}\tau).\]
For store $\tau$ vil eksponensialfunksjonen dominere, slik at en ved en slik
adiabatisk perturbasjon tåler svært store $F_0$ i forhold til $F_h$, uten at overgangssannsynligheten blir særlig stor, dvs uten at gyldigheten til første-ordens-resulatet går fløyten.

 
\subsection*{\underline{Løsning Oppgave 13 -- 2}\h{4mm}{\small Spinnresonans i 1.-ordens perturbasjonsteori}}

\pkt{a} Ved å sette inn nullte-ordens-resulatet \M{a^{(0)}_-(t)=1} på høyresiden i den eksakte ligningen finner vi spin-flipp-amplituden til første orden:
 \ba a_+(t)&amp;=&amp; a_+(0)-\hal i \om_1\int_0^t e^{i(\om_0-\om)t'}dt'=-i\frac{\om_1}{2}\,\frac{e^{i(\om_0-\om)t}-1}{i(\om_0-\om)}\\
&amp;=&amp; -i\,\frac{\om_1}{\om_0-\om}\,e^{i(\om_0-\om)t/2}\,\frac{e^{i(\om_0-\om)t/2}-e^{-(i\om_0-\om)t/2}}{2i}=\frac{i\om_1}{\om-\om_0}\,e^{i(\om_0-\om)t/2}\,\sin[(\om_0-\om)t/2].\ea
Sannsynligheten for å finne at spinnet har flippet ved tiden $t$ er altså til første orden
 \[ P_+(t)=|a_+(t)|^2=\frac{\om_1^2}{(\om-\om_0)^2}\sin^2[(\om-\om_0)t/2],\qed\]

\pkt{b} 
For \M{|\om-\om_0|&gt;&gt;\om_1,} dvs når vi er langt unna resonans, ser vi at maksimalverdien av $|a_+(t)|^2$ er mye mindre enn 1. Da er det kanskje ikke så rart at maksimalverdien av dette første-ordens-resultatet er nesten korrekt: Forholdet mellom denne maksimalverdien og den eksakte maksimalverdien er som du ser
 \[ \frac{\Omega^2}{(\om-\om_0)^2}=1+\frac{\om_1^2}{(\om-\om_0)^2}\approx1.\]
Vha binomialutviklingen \M{(1+\E)^{1/2}=1+\hal\E+{\cal O}(\E^2)} har vi
\[ \frac{\Omega}{|\om-\om_0|}=1+\frac{\om_1^2}{2(\om-\om_0)^2}+{\cal O}\LT(\om_1^4/(\om-\om_0)^4)\RT),\qed\]
Fra denne ser vi at
 \[ \Omega-|\om-\om_0|\approx\hal\,\frac{\om_1^2}{(\om-\om_0)^2}|\om-\om_0|.\]
Når differansen mellom argumentene $\hal\Omega t$ og $\hal|\om-\om_0|t$ er lik $\hal\pi$, er de to sinus-kvadratene kommet helt i mottakt, i den forstand at første-ordens-resultatet er lik null mens det eksakte har et maksimum. Første gang dette skjer er etter en tid $t$ gitt av
 \[ \hal\Omega t-\hal|\om-\om_0|t=\hal\pi,\qquad\mbox{dvs}\quad t=\frac{\pi}{\Omega-|\om-\om_0|}\approx\frac{2\pi}{|\om-\om_0|}\,\frac{(\om-\om_0)^2}{\om_1^2}.\]
Her er den første av de to siste faktorene omtrent lik peridetiden for oscillasjonene. Det tar altså svært mange slike perioder før oscillasjonene kommer helt i utakt.

\pkt{c} Ved resonans ($\om=\om_0$) er \M{\Omega=\om_1,} slik at det eksakte resultatet er
 \[ P_+(t)=\sin^2(\hal\om_1 t)=\hal[1-\cos(\om_1t)].\]
Oscillasjonene skjer altså  mye raskere enn ovenfor, og med mye større utsving; idet sannsynligheten for spinn-flipp nå svinger helt over til 1 alt ved \M{t=T/2=\pi/\om_1,} slik at \M{a_-(T/2)=0.} Lenge før dette må vi da vente at første-ordens-resultatet bryter sammen, siden dette bygde på at $a_-(t)\approx1$. Dette sammenbruddet bekreftes av \emph{resultatet} (til 1. orden) som er
\[ P_+^{(1)}(t)=\frac{1}{4}\om_1^2t^2.\]
Denne sannsynligheten begynner ganske raskt å avvike fra den eksakte, som vi ser, og den blir jo raskt større enn 1:
Figuren viser det eksakte resultatet sammen med første-ordens-resultatet.
\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4258-13-1.png}\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5cm,angle=0]{fig4250-1.eps}\end{center}
\fi
Merk at de to resultatene er identiske til laveste orden i $\om_1$.


\subsection*{\underline{Løsning Oppgave 13 -- 3}\h{4mm}{\small Plutselig og adiabatisk endring av magnetfeltet}}


\pkt{a} Den eneste tids-skalaen for det uperturberte systemet er her
\M{T_0\equiv 2\pi/\omega_0,} (Dette er presesjonstiden, når $\FV{\MVec{\sigma}}$
preseserer). En adiabatisk endring av $\Vec{B}$ skal derfor pr.\ definisjon skje
langsomt i forhold til $T_0$. Da $\FV{\MVec{\sigma}}$ her er rettet antiparallelt med $\Vec{B}$-feltet i begynnelsestilstanden, vil den i den adiabatiske
tilnærmelsen "følge med" $\Vec{B}$-feltet under den langsomme retningsendringen
av dette. Vi vil altså ha \M{\FV{\MVec{\sigma}}=-\Hat{B}(t)} og
\M{\chi(t)=\chi_{-\Hat{B}}} hele tiden når endringen skjer tilstrekkelig langsomt.

\pkt{b} En "plutselig" endring av $\Vec{B}$-feltet skal tilsvarende skje svært
raskt i forhold til $T_0$. Dette går så fort at $\chi$ og 
$\FV{\MVec{\sigma}}$ er tilnærmet uendret; de rekker ikke å følge med. 
Dersom vi f.eks.\  endrer retningen på
$\Vec{B}$-feltet fra $\Hat{z}$ til $\Hat{x}$ i løpet av tidsintervallet
$[0,\Delta t]$ (der $\Delta t&lt;&lt;T_0$), så vil $\FV{\MVec{\sigma}}$ være tilnærmet
lik $-\Hat{z}$ ved tiden $\Delta t$, umiddelbart etter at perturbasjonen er overstått. Etter dette fås  en ordinær
presesjon à là den vi har sett eksempler på før, denne gang med hensyn på $x$-aksen.



\end{document}







</pre></body></html>