<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagenumbering{arabic}
\usepackage{bok,makro}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\sf TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1}{}

\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
  \pdffalse
\else
  \pdfoutput=1
  \pdftrue
\fi

\ifpdf
  \usepackage[pdftex]{graphicx}
  \pdfcompresslevel=9
\else
  \usepackage{graphicx}
\fi

\let\ifpdf\relax

\fboxsep 3mm
\topmargin -5mm
\oddsidemargin 1mm
\textheight 240mm


\begin{document}

% For hver figur som inkluderes
%
\ifpdf
%\begin{center}\includegraphics[height=5.45cm,angle=90]{figdobbeltsp-1.png}
%\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5.45cm,angle=90]{figdobbeltsp-1.eps}
%\end{center}
\fi



%\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}


%\noindent Frist for innlevering: \emph{onsdag  25. januar (jf Åre)         }% NBNBNBNBNBNBNBN

\begin{center}{\Large\bf  ØVING 1}\end{center}

\subsection*{En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv}

\subsubsection*{Eksempel: Terningkast}

Ved terningkast er sannsynlighetene for å få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 like store:
 \[P(1)=P(2)=\cdots=P(6)=1/6.\]
Gjennomsnittsverdien $\bar{n}$ ved et stort antall kast vil da nærme seg den teoretiske {\bf forventningsverdien}, som er
 \[ \FV{n}=\sum_{n=1}^6nP(n)=(1+2+3+4+5+6)\frac{1}{6}=3.5.\]
Som illustrert i figuren svarer $\FV{n}$ til ``tyngdepunktet'' av sannsynlighetsfordelingen (som i dette tilfellet er diskret).
\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=4cm,angle=-0.5]{fig42155-1-2.png}
\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=4cm,angle=-0.5]{fig42155-1-2.eps}
%\end{center}
\fi
Figuren illustrerer videre {\bf usikkerheten} (også kalt standardavviket) $\Delta n$, som pr definisjon er 
 \[\fbox{roten av det midlere kvadratiske avviket,}\]
på engelsk kalt ``root-mean-square deviation'' (rms-avviket). Vi har altså oppskriften
 \[ \Delta n=\underbrace{\sqrt{\underbrace{\FV{\underbrace{(\underbrace{n-\FV{n}}_{\rm dev})^2\;}_{\rm square}}}_{\rm mean}}}_{\rm root}.\]
Da
 \[ (\Delta n)^2=\FV{(n-\FV{n})^2}=\FV{n^2-2\FV{n}n+\FV{n}^2}=\FV{n^2}-\FV{n}^2,\]
kan usikkerheten generelt skrives på to måter (du bør memorere begge disse):
 \[ \Delta n=\sqrt{\FV{(n-\FV{n})^2}}=\sqrt{\FV{n^2}-\FV{n}^2}.\]
Her kan vi nå regne ut
 \[ \FV{n^2}=\sum_{n=1}^6n^2P(n)=(1+2^2+3^2+\cdots+6^2)\cdot\frac{1}{6}=\frac{91}{6}.\]
Dermed blir usikkerheten i $n$ (altså roten av det midlere kvadratiske avviket fra middelverdien ved et terningkast)
 \[ \Delta n=\sqrt{91/6-3.5^2}\approx 1.71.\]
(Se figuren på første side.)

\subsubsection*{Kontinuerlig sannsynlighetsfordeling}
\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=3cm,angle=-0]{fig42155-1-3.png}
\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=3cm,angle=-0]{fig42155-1-3.eps}
%\end{center}
\fi
Figuren illustrerer en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling, hvor $x$ f.eks kan være posisjonen til en partikkel, og 
 \[ P(x)dx=|\psi(x)|^2dx\]
kan være sannsynligheten for å finne partikkelen i intervallet $[x,x+dx]$. Da kaller vi $P(x)$ for en sannsynlighets{\bf tetthet} (sannsynlighet pr lengde-enhet blir det i dette endimensjonale eksemplet). Siden partikkelen har en eller annen posisjon, skal den totale sannsynligheten være lik 1:
 \[ \int P(x)dx=1.\qquad\mbox{(normering)}\]
Forventningsverdien av posisjonen (tyngdepunktet av fordelingen) finner vi slik (analogt med beregningen av $\FV{n}$ på forrige side):
 \[ \FV{x}=\int xP(x)dx.\]
Videre er
 \[ \FV{x^2}=\int x^2P(x)dx,\]
osv. Fra disse  kan vi finne usikkerheten $\;\Delta x=(\FV{x^2}-\FV{x}^2)^{1/2}$.




\subsection*{\underline{Oppgave 1}\h{4mm}{\small }}

Betrakt (den endimensjonale) bølgefunksjonen
  $\;\Psi(x,t)=A\,e^{-\lambda|x|}e^{-i\omega t}\;$,
hvor $A,\,\lambda$ og $\omega$ er reelle, positive konstanter (og $-\infty&lt;x&lt;\infty$). Ifølge Borns sannsynlighetstolkning er $|\Psi(x,t)|^2dx\;$ sannsynligheten for å finne partikkelen i intervallet $(x,x+dx)$, forutsatt at $\Psi$ er normert.

\pkt{a} Skissér $|\Psi(x,t)|^2$ som funksjon av $\lambda x$. Bestem normeringskonstanten $A$. 
\footnote{Merk at for \M{n\geq1} følger det ved delvis integrasjon at
\[ I_n\equiv\intnu x^ne^{-x}dx=[x^n(-e^{-x})]_0^{\infty}-\intnu nx^{n-1}(-e^{-x})dx=nI_{n-1}.\]
Da \M{I_0=1,}  innser vi herav at
\[I_n\equiv\intnu x^ne^{-x}dx=n!\OG{9}I_n(\A)\equiv\intnu x^ne^{-\A x}dx=\frac{n!}{\A^{n+1}};\qquad(n=0,1,2...).\]}
[Hint: Både bølgefunksjonen og sannsynlighetstett\-heten er symmetrisk med hensyn på origo, så integrasjonen kan forenkles.]

\pkt{b} Finn forventningsverdiene av $x$ og $x^2$, dvs $\FV{x}$ og $\FV{x^2}$.

\pkt{c} Finn usikkerheten for $x$ $\;(\Delta x=\sqrt{\FV{x^2}-\FV{x}^2}$).
Merk av punktene $\FV{x}-\Delta x$ og $\FV{x}+\Delta x$ i skissen for $|\Psi(x,t)|^2$, for å illustrere hvordan $\Delta x$ representerer ``spredningen'' i $x$. Hva er sannsynligheten for å finne partikkelen utenfor (usikkerhets-)intervallet mellom de to punktene? 





\subsection*{\underline{Oppgave 2}\h{4mm}{\small Fotoner mot et vindu}}


En elektromagnetisk bølgepakke --- bygd opp ved superposisjon av planbølger med frekvenser $\nu$ i et lite intervall fra $\nu_0-\Delta\nu$ til $\nu_0+\Delta\nu$ --- faller inn mot et butikkvindu. Ved hjelp av Maxwells ligninger, med dertil hørende grensebetingelser, samt brytningsindeksen $n(\nu_0)$ for glasset, kan en regne ut at bølgepakken ved møtet med vinduet deler seg i en reflektert pakke og en transmittert pakke. 
\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=3cm]{fig4048-2-1.png}
\end{center}
\else
\begin{center}\includegraphics[height=3cm]{fig4048-2-1.eps}
\end{center}
\fi
La oss si at energi-innholdet i den reflekterte pakken er 4\% av energien i den innkommende pakken, og se bort fra absorpsjon i glasset. --- Hva skjer når ett enkelt foton med energi $h\nu_0$ sendes inn mot butikkvinduet? [Hint: Hent inspirasjon fra diskusjonen av dobbeltspalt\-eksperimentet med lys; se Tillegg 1.]

\subsection*{\underline{Oppgave 3}\h{4mm}{\small Grunntilstand og 1. eksiterte tilstand for harmonisk oscillator}}
 \ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=1.5cm,angle=0.5]{fig42155-1-1.png}
\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=1.5cm,angle=0.5]{fig42155-1-1.eps}
%\end{center}
\fi
Det fysiske systemet vi tenker på i denne oppgaven er en endimensjonal harmonisk oscillator: En partikkel med masse $m$, påvirket av kraften \M{F_x=-kx.} Dette svarer til et potensial ($\equiv$potensiell energi) \M{V(x)=\hal kx^2\equiv\hal m\om^2x^2,} der \M{\om=\sqrt{k/m}} er vinkelfrekvensen for den klassiske harmoniske svingningen.

I den kvantemekaniske behandlingen av oscillatoren spør en først etter \emph{egenfunksjonene} $\psi_n(x)$ til Hamilton-operatoren for oscillatoren,
  \[ \hhat=\frac{\widehat{p}_x^2}{2m}+V(x)=-\frac{\hs^2}{2m}\,\pfrac{^2}{x^2}+\hal m\om^2x^2,\]
dvs funksjoner som oppfyller egenverdiligningen \M{\hhat\psi=E\psi,} der $E$ er en konstant som vi tolker som en energi-egenverdi.

\pkt{a} Hamilton-operatoren $\hhat$ har én egenfunksjon på formen
 \[ \psi_0(x)=C_0e^{-\B x^2}.\]
Bestem $\B$ og energiegenverdien $E_0$. [Hint: Begge disse størrelsene bestemmes ved innsetting i egenverdiligningen. Av de to løsningene for $\B$ gir bare den ene en bølgefunksjon som gir en fysisk akseptabel sannsynlighetstetthet. Hvorfor?]

\pkt{b} Bestem konstanten $C_0$ slik at $\psi_0(x)$ er normert. 
\footnote{Oppgitt:
 \[\intuu e^{-\A x^2}dx=\sqrt{\pi/\A}\].}
(Merk at du kan \emph{velge fasen} til $C_0$ fritt, f.eks slik at $C_0$ blir reell og positiv.) Lag en rask skisse av sannsynlighetstettheten $|\psi_0(x)|^2$, og merk av de \emph{klassiske vendepunktene} for partikkelen, dvs de punktene hvor \M{E=V} for den aktuelle energien. Anslå ut fra skissen sannsynligheten for å finne partikkelen i det \emph{klassisk forbudte området}, dvs der hvor \M{V(x)&gt;E_0.}

\pkt{c} Vi skal senere vise at egenfunksjonen $\psi_0(x)$ svarer til \emph{grunntilstanden} (tilstanden med lavest mulig energi) for oscillatoren. Egenfunksjonen som svarer til den nest laveste energien viser seg å være
  \[ \psi_1(x)=C_1\,x\,e^{-\B x^2}. \]
Finn den tilsvarende energiegenverdien $E_1$.

\subsection*{\underline{Oppgave 4}\h{4mm}{\small Grunntilstanden i H-atomet}}

\pkt{a} Vis at den kulesymmetriske bølgefunksjonen 
 \[ \psi(\ver)=C\,e^{-r/a_0}\qquad\LT(a_0\equiv\frac{4\pi\E_0\hs^2}{m_ee^2}\RT)\]
 er en egenfunksjon til Hamilton-operatoren
 \[\hhat=\widehat{K}+V=-\frac{\hs^2}{2m_e}\,\nabla^2\,+\frac{-e^2}{4\pi\E_0\,r}\]
for hydrogenatomet [dvs vis at $\,\hhat\psi(\ver)=E\psi(\ver)$], og påvis at egenverdien $E$ (energi-egenverdien) er som angitt i ligning (T1.26) i Tillegg 1. 
Laplace-operatoren i kulekoordinater er
 \[ \nabla^2=\pfrac{^2}{r^2}+\frac{2}{r}\,\pfrac{}{r}+\frac{1}{r^2}\LT(\pfrac{^2}{\theta^2}+\cot\theta\,\pfrac{}{\theta}+\frac{1}{\sin^2\theta}\,\pfrac{^2}{\phi^2}\RT).\]

\pkt{b} Vis at når $\psi(\ver)$ er en energiegenfunksjon med energien $E$, slik vi fant ovenfor, så er
 \[ \Psi(\ver,t)=\psi(\ver)e^{-iEt/\hs}\]
en løsning av den tidsavhengige \Sch\ for H-atomet,
 \[ i\hs\,\pfrac{\Psi}{t}=\hhat\Psi.\]

\pkt{c} Vis at \M{C=(\pi a_0^3)^{-1/2}} gir en normert bølgefunksjon.

\end{document}


</pre></body></html>