<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagenumbering{arabic}
\usepackage{bok,makro}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\sf TFY4215  - Øving 4}{}

\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
  \pdffalse
\else
  \pdfoutput=1
  \pdftrue
\fi

\ifpdf
  \usepackage[pdftex]{graphicx}
  \pdfcompresslevel=9
\else
  \usepackage{graphicx}
\fi

\let\ifpdf\relax

\topmargin -5mm
\oddsidemargin 1mm
\textheight 240mm


\begin{document}

% For hver figur som inkluderes
%
\ifpdf
%\begin{center}\includegraphics[height=5.45cm,angle=90]{figdobbeltsp-1.png}
%\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=5.45cm,angle=90]{figdobbeltsp-1.eps}
%\end{center}
\fi



%\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}


%%\noindent Frist for innlevering: \emph{??????????? februar, kl 17.00        }% NBNBNBNBNBNBNBN

\begin{center}{\Large\bf  ØVING 4}\end{center}

%\subsection*{\underline{Oppgave }\h{4mm}{\small }}


\subsection*{\underline{Oppgave 13}\h{4mm}{\small Vibrerende to-partikkel-system}}

Som diskutert side 110 i boka, er det et viktig poeng --- både i klassisk mekanikk og i kvantemekanikk --- at et {\bf to-partikkel-problem} essensielt kan ``reduseres'' til et enpartikkelproblem. Dette er relevant både for \emph{bundne} to-partikkel-systemer (som f.eks H-atomet) og for \emph{ubundne} systemer, slik vi har i spredningsprosesser.

Dette kan illustreres ved et ``endimensjonalt'' system, der to partikler med masser $m_1$ og $m_2$ er forbundet med en vektløs fjær med fjærkonstant $k$. Ved likevekt (med ``avspent'' fjær, og null krefter) er {\bf relativ-koordinaten} mellom de to partiklene, \M{x=x_1-x_2,} lik $l$ (likevektsavstanden).
 \ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=3cm]{fig4048-5-3.png}
\end{center}
\else
\begin{center}\includegraphics[height=3cm]{fig4048-5-3.eps}
\end{center}
\fi
\noindent 
Ellers er kreftene på $m_1$ og $m_2$ er hele tiden motsatt rettet og proporsjonale med ``utsvinget'' fra likevektsavstanden, \M{x_1-x_2-l=x-l:}
 \[ F_1=-F_2=-k(x_1-x_2-l)\equiv -k(x-l).\]
 Siden disse kreftene  bare avhenger av relativ-koordinaten $x$, må det samme gjelde for den potensielle energien; det er lett å se at disse kreftene kan avledes av potensialet \M{V=\hal k(x-l)^2,} vha
 \[ F_i=-\pfrac{V}{x_i}=-\pfrac{V}{x}\,\pfrac{x}{x_i},\qquad i=1,2.\]
[Vi tenker oss altså her at all bevegelse skjer i $x$-retningen, dvs vi ser bort fra at systemet kan \emph{rotere} om tyngdepunktet for to-partikkelsystemet.]

\pkt{a} {\bf Først en klassisk-mekanisk tilnærming}:  Om vi først tenker oss at vi holder $m_2$ fast i origo, slik at \M{x_2=0,} er ifølge
 Newtons 2.\ lov 
 \[ \frac{F_1}{m_1}=\underline{\frac{-k(x-l)}{m_1}}=\frac{d^2x}{dt^2}=\underline{\frac{d^2(x-l)}{dt^2}}.\qquad\LT(x_2=0,\;x=x_1\RT)\]
\bu Sett inn prøveløsningen \M{x-l=A\cos(\om_1t+\A)} i differensialligningen som er understreket, og vis at den klassiske vinkelfrekvensen er
 \[\om_1=\sqrt{\frac{k}{m_1}}.\]
Holder vi $m_1$ fast, får vi tilsvarende en svingning med vinkelfrekvens \M{\om_2=\sqrt{k/m_2}.}

Og så kommer poenget:  Lar vi både $m_1$ og $m_2$ svinge fritt (som to atomer i et toatomig molekyl), skal du vise at relativ-avstanden svinger med en vinkelfrekvens $\om$ som er større enn både $\om_1$ og $\om_2$: \bu Vis først at den andrederiverte av utsvinget $x-l$ er lik $-(x-l)k/\mu$, der $\mu$ er den såkalte {\bf reduserte massen}, definert ved \M{1/\mu=1/m_1+1/m_2:} 
  \[ \frac{d^2}{dt^2}(x-l)=\cdots=-\frac{k}{\mu}(x-l),\qquad\mbox{der}\quad \frac{1}{\mu}\equiv\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\qquad\LT(\Longrightarrow\quad \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\RT).\]
[Hint: Bruk $d^2x_i/dt^2=F_i/m_i,\,\,(i=1,2)$.]\newline
\bu Sett deretter inn prøveløsningen \M{x-l=A\cos(\om t+\A)} i differensialligningen ovenfor, og påvis at den resulterende vinkelfrekvensen $\om$ er større enn $\om_1$ og $\om_2$, som påstått ovenfor.

\bu Hvordan beveger \emph{tyngdepunktet} for to-partikkel-systemet seg når det ikke virker noen ytre krefter? [Jf Newtons 1.\ lov.]

\pkt{b} {\bf Så til den kvantemekaniske behandlingen}.
Med utgangspunkt i energioperatoren \M{\hhat=\Kop_1+\Kop_2+V(x)} for de to partiklene kan det  vises (se nedenfor, og se avsnitt 5.8 side 110 i Hemmer) at \emph{relativbevegelsen} for de to partiklene beskrives av den tidsuavhengige \Sch\
  \[ \LT[-\frac{\hs^2}{2\mu}\pfrac{^2}{x^2}+\hal k(x-l)^2\RT]\psi(x)=E\psi(x),\]
der $\mu$ er den  reduserte massen og $x$ er relativkoordinaten.
\bu Hva blir energinivåene? \bu Angi energiegenfunksjonen for grunntilstanden som funksjon av relativkoordinaten $x$.\newline 
[Hint: Svarene finner du uten å regne, ved å sammenligne med 
``standard\-utgaven'' av en harmonisk oscillator, som er en partikkel med masse $m$ som beveger seg i potensialet \M{V(q)=\hal kq^2\equiv\hal m\om^2q^2.} Den tidsuavhengige \Sch\ for dette systemet er
 \[ \LT[-\frac{\hs^2}{2m}\pfrac{^2}{q^2}+\hal kq^2\RT]\psi(q)\equiv
   \LT[-\frac{\hs^2}{2m}\pfrac{^2}{q^2}+\hal m\om^2q^2\RT]\psi(q)
=E\psi(q),\]
med energiegenverdiene
 \[ E_n=\hs\sqrt{\frac{k}{m}}\,(n+\hal)\equiv\hs\om(n+\hal),\qquad n=0,1,2,\cdots.\]
Energiegenfunksjonen for grunntilstanden er (som vi har sett før)
 \[ \LT.\psi_0(q)=C_0e^{-m\om q^2/2\hs},\qquad C_0=(m\om/\pi\hs)^{1/4}.\;\;\RT]\]

\pkt{c} \bu Vis at Hamilton-operatoren \M{\hhat=\widehat{K}_1+\widehat{K}_2+V(x)} (der $\widehat{K}_1=\pop_1^2/2m_1$ osv) kan skrives som
\[ \hhat=\frac{\widehat{P}^2}{2M}+\frac{\widehat{p}^2}{2\mu}+V(x)\qquad\mbox{med}\quad \widehat{P}=\frac{\hs}{i}\,\pfrac{}{X}\OG{4}\pop=\frac{\hs}{i}\,\pfrac{}{x},\]
hvor
\[ x=x_1-x_2\OG{7}X=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\equiv\frac{m_1}{M}\,x_1+\frac{m_2}{M}\,x_2\]
er henholdsvis relativkoordinaten og tyngdepunktskoordinaten. [Hint: Ved hjelp av kjerneregelen har vi at
 \[ \pfrac{}{x_1}=\pfrac{}{X}\,\pfrac{X}{x_1}+\pfrac{}{x}\,\pfrac{x}{x_1}=\frac{m_1}{M}\,\pfrac{}{X}+\pfrac{}{x}\OG{9}\pfrac{}{x_2}=\frac{m_2}{M}\,\pfrac{}{X}-\pfrac{}{x}.\]
Fra disse kan du finne $\pop_1$ og $\pop_2$ uttrykt ved $\widehat{P}$ og $\pop$.]\newline
\bu Hvilken fysisk observabel svarer operatoren $\widehat{P}$ til? [Hint: Vis at  $\pop_1+\pop_2=\widehat{P}$.]


\pkt{d} Da $\hhat$ kommuterer med operatoren $\widehat{P}$, kan vi finne energiegenfunksjoner som samtidig er egenfunksjoner til $\widehat{P}$, med egenverdi $P$. Disse egenfunksjonene vil generelt avhenge både av relativ-koordinaten $x=x_1-x_2$ og av tyngdepunktskoordinaten $X$.   Anta at vi velger å betrakte dette systemet fra  tyngdepunkts-systemet, hvor den samlede impulsen $P$ til de to partiklene pr definisjon er lik null. \bu Forklar (vha egenverdiligningen $\widehat{P}\psi=P\psi$) hvorfor energiegenfunksjonen da blir uavhengig av tyngepunktskoordinaten $X$, og sammenlign den resulterende energiegenverdiligningen med ligningen under \PKT{b}.

\subsection*{\underline{Oppgave 14}\h{4mm}{\small Vibrasjonsfrihetsgraden for to-atomig molekyl}}

Når et oksygenmolekyl O$_{2}$ er i grunntilstanden (dvs har lavest mulig energi), er avstanden mellom de to kjernene \emph{nokså nær} en viss likevektsavstand (av størrelsesorden Ångstrøm). 
%Samtidig går de to ``elektronskyene'' (hver på 8 elektroner) nærmest over i hv%erandre, og formen til molekylet (dvs av den samlede elektronskyen) er noe i n%ærheten av en urensket peanøtt, eller som to like store såpebobler som henger %sammen.

Denne likevektsavstanden svarer til et energiminimum for dette systemet. Prøver vi å dytte de to kjernene (og dermed elektronskyene) nærmere hverandre, eller å trekke dem fra hverandre, koster det energi, og molekylet motsetter seg endringen med en kraft som er tilnærmet proporsjonal med ``utsvinget'' (avviket fra likevektsavstanden). M.a.o: Vi har (for små utsving) en tilnærmet harmonisk oscillator. (Jf Tillegg 3, side 25--26.)  

Kvantemekanisk kan denne oscillatoren være i grunntilstanden, men den kan også eksiteres.

\pkt{a} Eksperimentelt viser det seg  at den (tilnærmet ekvidistante) avstanden mellom energinivåene for denne oscillatoren er \M{\hs\om\approx0.20} eV. 
 Med en oksygenmasse $m$ finner vi fra forrige oppgave at ``fjærkonstanten'' for dette systemet er \M{k=\hal m\om^2.} \bu Gjør et numerisk overslag over  denne ``fjærkonstanten'', 
 og påvis at ``fjæren'' er ganske kraftig, med en fjærkonstant av størrelsesorden $10^3$ N/m. [Massen til et oksygenatom er ca 16 ganger protonmassen, som er $m_p\approx1.67\cdot10^{-27}\;$kg.]

\pkt{b} \bu Et ja/nei-spørsmål ut fra det som hittil er sagt: Kan avstanden mellom de to kjernene være skarpt definert?\newline 
Som et mål for størrelsen av typiske ``utsving'' for denne oscillatoren kan vi ta lengden $\sqrt{\hs/m\om}$ (som er $\sqrt{2}$ ganger usikkerheten $\Delta x$). \bu Sett inn tallverdier for denne størrelsen, og vis at disse ``utsvingene'' for kjernene er små sammenlignet med atomradier (eller med avstandene mellom kjernene i et molekyl), som typisk er av størrelsesorden 10$^{-10}\,$m. 

\pkt{c} Anta at vi har en \emph{makroskopisk} oscillator med samme fjærkonstant, dvs et potensial $V(x)=\hal kx^2$, og en makroskopisk ``partikkel'' med masse \M{M=1}kg. \bu Vis at forholdet mellom energibeløpet $\hs\om'$ for denne oscillatoren og beløpet $\hs\om$ for oscillatoren ovenfor er ca $10^{-13}$. \bu Beregn også  lengden $\sqrt{\hs/M\om'}$, som gir skalaen for ``utsvinget'' av den tunge massen (i grunntilstanden), og vis at denne lengden er ca en faktor $10^{-7}$ mindre enn størrelsen  $\sqrt{\hs/m\om}$ for den lette massen.

\pkt{d} Anta at den tunge massen oscillerer med et utsving på $x_{max}=10$ cm. \bu Sammenlign energien $E=\hal k(x_{max})^2$ for en slik svingetilstand med energibeløpet $\hs\om'$ for denne oscillatoren, og finn ut hvor store kvantetall $n'$ dette svarer til. [Hint: Husk at $E_n'=\hs\om'(n'+\hal)$.]




\subsection*{\underline{Oppgave 15}\h{4mm}{\small Ikke-stasjonær tilstand for partikkel i boks}}

En partikkel med masse $m$ befinner seg i en uendelig dyp endimensjonal potensialbrønn (boks) med vidde $L$:
 \[ V(x)=\LT\{\barr{ll}0 &amp; \mbox{ for }\;0&lt;x&lt;L,\\ \infty &amp; \mbox{ ellers.}\earr\RT.\]
Ved \M{t=0} prepareres dette systemet i en tilstand beskrevet ved  bølgefunksjonen
  \ba \Psi(x,0) &amp;=&amp; \sqrt{\frac{16}{5L}}\,\LT(\sin\frac{\pi x}{L}\RT)^3 .\ea
Figuren viser $\sqrt{L}\Psi(x,0)$ og $L|\Psi(x,0)|^2$ som funksjoner av $x/L$.




\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=4.5cm,angle=-0]{fig4215h06-0005.png}
\end{center}
\else
%\begin{center}\includegraphics[height=3.5cm,angle=0]{fig4215h05-8.eps}
%\end{center}
\fi

\pkt{a} \bu Angi (ut fra diagrammet ovenfor) forventningsverdien $\FV{x}_0$ av partikkelens posisjon ved \M{t=0.} \bu Hvilken av kurvene i diagrammet er direkte relevant når du på øyemål skal
anslå omtrent hvor stor \emph{usikkerheten} $(\Delta x)_0$ i posisjonen er ved \M{t=0.} \bu Hva \emph{er} ditt anslag?

\pkt{b}  Da det ortonormerte energiegenfunksjonssettet for boksen,
 \[ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin k_nx,\qquad k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad E_n=\frac{\hs^2k_n^2}{2m},\qquad n=1,2,\cdots,\]
utgjør et fullstendig sett (dvs danner en basis), kan begynnelsestilstanden utvikles i dette settet. \bu
Bruk formelen  \M{4\sin^3y=3\sin y-\sin 3y} til å finne koeffisientene $c_n$ i utviklingsformelen
\[ \Psi(x,0)=\sum_nc_n\psi_n(x).\]



\pkt{c} \bu Vis at begynnelsestilstanden $\Psi(x,0)$ er normert. [Hint: Normeringsintegralet kan skrives som
 \[ \LT.\int_0^L\LT(\sum_kc_k\psi_k\RT)^{\Ast}\LT(\sum_n c_n\psi_n\RT)dx=\sum_{k,n}c_k^{\Ast}c_n\int_0^L\psia_k\psi_ndx.\;\RT]\]

\pkt{d}  Etter prepareringen (for $t&gt;0$) er bølgefunksjonen 
  \[ \Psi(x,t)=  \sum_nc_n\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hs},\]
der $c_n$ er koeffisientene som skulle finnes ovenfor. [Denne er lik den oppgitte tilstanden ved $t=0$, og den oppfyller \Sch. Mer kan ingen kreve.]
Anta at det gjøres en måling av energien $E$ til partikkelen ved \M{t=0} (umiddelbart etter prepareringen). 
\bu 
(i) Hva er de mulige måleresultatene, og hva er sannsynlighetene for disse?
 \bu (ii) Beregn forventningsverdien $\FV{E}_0$ av energien ved \M{t=0} (uttrykt ved grunntilstands\-energien $E_1$).
 \bu (iii) Hva blir bølgefunksjonen for systemet etter en slik måling?
\bu (iv)  Hva blir svarene på (i) og (ii) dersom målingen i stedet gjøres ved tiden $t$ (dvs en stund etter prepareringen)?



\pkt{e}  Etter overslaget av usikkerheten $(\Delta x)_0$ i \PKT{a} kan det være interessant å undersøke $(\Delta p_x)_0$. \bu Vis først at \M{\FV{p_x}_0=0.} \bu Finn deretter $\FV{p_x^2}_0$ (f.eks vha resultatet for $\FV{E}_0$), og sett inn den resulterende usikkerheten $(\Delta p_x)_0$ (og overslaget over $(\Delta x)_0$)  i usikkerhets\-produktet $(\Delta x)_0(\Delta p_x)_0$. 


\end{document}


\[\frac{3}{\sqrt{10}}\,\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hs}-\frac{1}{\sqrt{10}}\,\psi_3(x)e^{-iE_3t/\hs}.\]

\[ \;\stackrel{(\Ast)}{=}\;
 \frac{3}{\sqrt{10}}\,\psi_1(x)-\frac{1}{\sqrt{10}}\,\psi_3(x),\]
der $\psi_1$ og $\psi_3$ er to av de normerte energiegenfunksjonene for dette systemet.

% Tatt ut (eller flyttet?):

\subsection*{\underline{Oppgave 13B}\h{4mm}{\small Ikke-stasjonær tilstand for harmonisk oscillator}}

Fra tidligere øvinger følger det  at bølgefunksjonene
 \[ \Psi_0(x,t)=\psi_0(x)e^{-iE_0t/\hs}=C_0e^{-m\om x^2/2\hs}e^{-iE_0t/\hs}\]
og
\[ \Psi_1(x,t)=\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hs}=C_1\,x\,e^{-m\om x^2/2\hs}e^{-iE_1t/\hs}\]
svarer til stasjonære tilstander for den endimensjonale harmoniske oscillatoren, med skarpt definerte energier \M{E_0=\hal\hs\om} og \M{E_1=\frli{3}{2}\hs\om.} Det oppgis at normeringskonstantene er \M{C_0=(m\om/\pi\hs)^{1/4}}  og \M{C_1=C_0\sqrt{2m\om/\hs}.} (Det er kanskje en god idé å kontrollere den siste.)


 Ifølge superposisjonsprinsippet er også en vilkårlig lineærkombinasjon av $\Psi_0$ og $\Psi_1$ en løsning av \Sch, dvs beskriver en mulig fysisk tilstand for oscillatoren. Anta at oscillatoren er i en tilstand beskrevet ved lineærkombinasjonen
  \[ \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\LT[\Psi_0(x,t)+\Psi_1(x,t)\RT].\]
På samme måte som i oppgave 8 (Øving 3) kan sannsynlighetstettheten $|\Psi(x,t)|^2$ for denne ikke-stasjonære tilstanden  skrives på formen
  \[ |\Psi(x,t)|^2=\hal[\psi_0(x)]^2+\hal[\psi_1(x)]^2+\psi_0(x)\psi_1(x)\cos\om t.\]



\pkt{a} Finn forventningsverdien av posisjonen $x$ til partikkelen i denne tilstanden som funksjon av tiden, $\FV{x}_t$. [Hint: To av integralene som dukker opp her er kjente forventningsverdier. I det tredje integralet kan du spare deg litt regning ved å merke deg at  $\;x\psi_0(x)=\sqrt{\frac{\hs}{2m\om}}\,\psi_1(x)$. Moral: Det lønner seg å ha en viss ``oversikt''.]

\pkt{b} Hva er sannsynligheten $P_{x&gt;0}(t)$ for å finne partikkelen i ``høyre halvdel av potensialet'' (dvs med posisjon $x&gt;0$) ved tiden $t$? [Hint: Også her kan du spare deg arbeid ved å notere at noen av integralene som dukker opp er ``halve'' normeringsintegraler.]

\pkt{c} Hvilke resultater kan en måling av partikkelens energi gi når den er i tilstanden $\Psi(x,t)$? [Hint: Jf tolkningen av utviklingskoeffisientene i 2.5.2 i boka.]

\pkt{d} Hva kan du (ifølge ``målepostulatet'') si om partikkelens tilstand \underline{\emph{umiddelbart etter}} en slik måling? Hva kan du si om partikkelens tilstand \underline{\emph{lenge}} etter målingen? 
\ifpdf
\begin{center}\includegraphics[height=8cm]{fig4048-5-2.png}
\end{center}
\else
\begin{center}\includegraphics[height=8cm]{fig4048-5-2.eps}
\end{center}
\fi
\pkt{e} Diagrammet viser de tre funksjonene $\;[\psi_0(x)/C_0]^2=e^{-y^2},\;[\psi_1(x)/C_0]^2=2y^2e^{-y^2}\,$ og $\,2|\Psi(x,0)/C_0|^2=(1+y\sqrt{2})^2e^{-y^2}\,$, uttrykt  ved den dimensjonsløse variabelen \M{y=x/\sqrt{\hs/m\om},} som funksjoner av $y$. Hvilke av disse funksjonene viser kurvene a, b og c? 

Hvordan ser tilsvarende skisser av funksjonene
% \[  2|\Psi(x,t=\pi/2\om)/C_0|^2,\]
 \[  2|\Psi(x,t=\pi/\om)/C_0|^2,\]
 \[  2|\Psi(x,t=2\pi/\om)/C_0|^2,\] 
ut, mon tro?









</pre></body></html>