<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4215 Innf{\o}ring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 10.
\end{bf}
\end{center}


\vspace{1cm}
{\bf Oppgave 1: Endimensjonal modell for atom og toatomig molekyl} \\

En endimensjonal modell med en eller to potensialbr{\o}nner gir 
b{\o}lgefunksjoner og energiniv{\aa}er som {\em kvalitativt} kan belyse
noe av det som skjer n{\aa}r to atomer sl{\aa}r seg sammen og danner et molekyl.
I pythonprogrammet \verb|singlewell.py| l{\o}ses TUSL numerisk for en potensialbr{\o}nn
med dybde $V_0 = -9$ eV og bredde $L = 2$ {\AA}. I \verb|doublewell.py| l{\o}ses TUSL 
for et system der to potensialbr{\o}nner med dybde $V_0 = -9$ eV og bredde $L = 2$ {\AA} 
er adskilt av et omr{\aa}de med null potensial og bredde 2 {\AA}. I begge tilfeller
er det et omr{\aa}de med null potensial og bredde 6 {\AA} p{\aa} hver side av hhv
''atomet'' og ''molekylet''. Bruk programmene slik de er, eller oversett dem til Matlab,
for {\aa} besvare denne oppgaven. \\

$a)$ Hva er energien til atomets ene bundne tilstand (grunntilstanden), i enheten eV? \\

$b)$ Hva er energien til molekylets to laveste tilstander? \\

$c)$ Anta at atomet har ett elektron, slik at molekylet har to elektroner. Hva er total
energi til to separate atomer, begge i grunntilstanden? \\

$d)$ Hvor mange elektroner er det ''plass til'' i hver av molekylets romlige tilstander?
Hva blir molekylets totale spinn i grunntilstanden? \\

$e)$ Hva er molekylets totale energi i grunntilstanden? Hvor stor er ''energigevinsten''
ved at to atomer sl{\aa}r seg sammen og danner et slik molekyl? \\


\vspace{1cm}
{\bf Oppgave 2: Endimensjonal modell for krystall} \\

En endimensjonal modell med mange slike potensialbr{\o}nner som i oppgave 1 kan
kvalitativt belyse hvordan elektroner har det i en krystall.
I pythonprogrammet \verb|krystall.py| l{\o}ses TUSL numerisk for \verb|Nunit| 
potensialbr{\o}nner med dybde $V_0 = -9$ eV og bredde $L = 2$ {\AA}. Det utlagte
programmet bruker 5 br{\o}nner (''atomer''). P{\aa} venstre og h{\o}yre side er det
et omr{\aa}de med null potensial og bredde 8 {\AA}. Atomene er adskilt med barrierer
med null potensial og bredde 2 {\AA}. Bruk programmet slik det er, eller oversett
til Matlab, for {\aa} besvare oppgaven. \\

$a)$ Vi observerte i oppgave 1 at med 2 atomer fikk vi 2 energiniv{\aa}er i
n{\ae}rheten av grunntilstanden for enkeltatomet, et niv{\aa} med litt lavere energi
og et niv{\aa} med litt h{\o}yere energi. Hvor mange energiniv{\aa}er blir det omkring
den atom{\ae}re grunntilstanden med $N$ atomer? Pr{\o}v med f.eks $N=5$ (programmet
som lagt ut) og $N=10$. (NB: Varier parameteren \verb|Nunit| i programmet.
Parameteren \verb|N| i programmet angir antall diskrete posisjonsverdier i hvert
atom.) \\

$b)$ {\O}k antall atomer og legg merke til hvordan antall energiniv{\aa}er
{\o}ker uten at differansen $E_N - E_1$ mellom st{\o}rste og minste energiniv{\aa}
{\o}ker tilsvarende. Vi f{\aa}r et {\em energib{\aa}nd}, og med et stort
antall atomer i krystallen blir det en tiln{\ae}rmet kontinuerlig fordeling
av energiniv{\aa}er i energib{\aa}ndet. \\

$c)$ Kj{\o}r programmet for utvalgte atomantall $N$ mellom 2 og 100 og skisser
(for h{\aa}nd) b{\aa}ndbredden $\Delta E = E_N - E_1$ som funksjon av $N$. \\

$d)$ Velg 50 atomer og zoom inn p{\aa} nederste halvpart av energib{\aa}ndet.
Er avstanden mellom naboniv{\aa}er som forventet, basert p{\aa} det du vet om 
tilstandstettheten $g(E)$ i en dimensjon? (Se forelesningsnotater.
Kommentar: Siden vi her har endelig dybde p{\aa} br{\o}nnene og et endelig
antall br{\o}nner, blir tilstandstettheten praktisk talt en symmetrisk
funksjon som {\o}ker n{\aa}r vi n{\ae}rmer oss b{\aa}ndkanten, b{\aa}de
nederst og {\o}verst.) \\

$e)$ Fjern kommentartegnet i linjene 54 -- 60 slik at $|\psi|^2$ plottes
for tilstanden midt i b{\aa}ndet. Vil du hevde at et elektron i denne
tilstanden stort sett befinner seg i en bestemt del av systemet, eller vil
du si at det er litt ''her og der''? Er elektronet for det meste
n{\ae}r atomkjernene, eller er det like gjerne midt mellom atomkjernene? \\

$f)$ Ved {\aa} endre p{\aa} en eller flere parametre i programmet kan du lage
en modell som gir mer enn ett energib{\aa}nd med negative energiverdier.
Gj{\o}r dette. Forklar hva du har gjort og illustrer resultatet med en eller
flere relevante figurer. \\

$g)$ Foresl{\aa} hvordan du ville ha endret formen
p{\aa} potensialet $V(z)$ slik at det bedre ville ha beskrevet potensialet
som et elektron opplever i en virkelig krystall. (Vi holder oss fortsatt
i kun en dimensjon.) \\

$h)$ Anta n{\aa} en situasjon der vi har to energib{\aa}nd, nr 1 og 2, med
minimum- og maksimumenergier hhv $E_1^{\rm min}$, $E_1^{\rm max}$
og $E_2^{\rm min}$, $E_2^{\rm max}$. (Og slik at $E_1^{\rm max} &lt; E_2^{\rm min}$.)
I hvert b{\aa}nd har vi $N$ romlige
tilstander (''orbitaler''), like mange som antall atomer i krystallen.
Anta at hvert atom har 3 elektroner, dvs i alt $3N$ elektroner i krystallen.
Disse elektronene vil (ved tilstrekkelig lav temperatur, dvs i grunntilstanden)
okkupere de $3N/2$ orbitalene med lavest energi, n{\aa}r
vi tar hensyn til at det er plass til 2 elektroner i hver orbital, et med spinn
opp og et med spinn ned. Hva blir energien til de to elektronene med h{\o}yest
energi? (Kjemikere kaller denne tilstanden for HOMO, en forkortelse for {\em highest
occupied molecular orbital}.) Dersom antall atomer $N$ er riktig stort, hvor stor
er energiavstanden fra HOMO opp til n{\ae}rmeste ledige tilstand? (Denne tilstanden
kalles gjerne LUMO, {\em lowest unoccupied molecular orbital}.) Er denne krystallen
n{\aa} et metall eller en isolator? \\

$i)$ Anta samme situasjon som i $h)$, med to energib{\aa}nd, men n{\aa} med $N$
atomer med 2 elektroner hver. Hvor mange orbitaler vil n{\aa} v{\ae}re okkupert
av elektroner i krystallens grunntilstand? Hva er energien til HOMO n{\aa}?
Enn energien til LUMO? Er denne krystallen et metall eller en isolator? \\

$j)$ Energidifferansen mellom LUMO og HOMO i forrige punkt tilsvarer det
s{\aa}kalte {\em b{\aa}ndgapet} i krystallen. Dersom b{\aa}ndgapet ikke er
st{\o}rre enn et par tre elektronvolt, kalles stoffet ikke lenger en isolator,
men en {\em halvleder}. Hvis du fikk til oppgave $f)$: Er {\em din} krystall
i oppgave $f)$ en isolator eller en halvleder, n{\aa}r hvert atom har 2 elektroner?


\end{document}
</pre></body></html>