Oppgave 4

a) La oss ta utgangspunkt i hvordan antall individer i en
dyrekoloni utvikler seg med tiden. Anta - enklest mulig -
at bestanden vokser med en fast faktor hvert år, dvs. at
det eksisterer en -mu- > 1 slik at

b(n+1) = -mu-b(n),

der b(n) er bestanden i år n og b(n+1) er bestanden i år n + 1.
Hva for slags ligning er dette, og hva er den generelle
løsningen? Skriv kort ned en forklaring på hvorfor denne
modellen er urealistisk.

b) En forbedret modell oppnås ved å la B være øvre estimat
på antall dyr kolonien kan romme, og definer modellen ved
at

b(n+1) = -mu-b(n)(1 - b(n)/B).

Vi innfører relativ bestand

x(n) = b(n)/B,

og har da

x(n+1) = -mu-x(n)(1 - x(n)).

Definerer

F(-mu-)(x) = -mu-x(1 - x),

og har da 

x(n+1) = F(-mu-)(x(n)).

Lag en enkel skisse av F(-mu)(x), og skriv ned koordinatene til
topp-punktet.
La x(-0-) være skjæringspunktet mellom grafen til y = F(-mu-)(x) og
grafen til y = x. Hva er da x(-n-) som funksjon av x(-0-)?
Hva slags punkt er x(-0-)?

c) Definer begrepet fikspunkt for en funksjon f.
Definer begrepet periodisk punkt for en funksjon f, og gjør rede
for begrepet grunnperiode for punktet.
Forklar/definer tiltrekkende fikspunkt og frastøtende fikspunkt
for en funksjon f.

d) Betrakt nå avslutningsvis

F(-mu-) = (mu)x(1 - x).

Bestem de to fikspunktene til F(-mu-).
Er fikspunktene tiltrekkende eller frastøtende?
Oppsummer svaret ditt ved konkret å oppgi restriksjoner
på -mu-. (Bevis trenges ikke).